３次元の球
球と球面
この連載記事では多次元空間のお話をさせていただいているのですから、多次元の球と球面の話をしないわけにはいきません。この記事では前回の記事の最後でお約束したように、第７回や前回の記事で確認した「４次元空間に２次元物体を置くと一般的に３次元空間からは１次元の曲線として観測される。」が正しいことを、球と球面の話を使って説明させていただきます。
ところで大栗博司先生がお書きになった「重力とは何か」の第３章「重力はなぜ生じるか － 一般相対論の世界」のはじめのほうに「４次元の球体が私たちの世界を訪れたときの様子について書かれています。この本では「私たちには見ることのできない方向から突如として空間に「点」が現れ、それが徐々に広がって「球」になる。」と説明しています。今回の記事はその部分がよくわからなかった方にもお役に立つはずです。
３次元の球と２次元の球面
記事トップの画像は「３次元の球」です。見ることはできませんが中身も詰まっています。数学でこのような球を定義するときは、次のように表現します。
３次元空間の１点（たとえば座標の原点）からの距離が一定値以下にある点の集合
座標の原点は球の中心です。
そして球の表面は「球面」ですよね？３次元球の表面は「面」ですから２次元の曲面です。球の中身を空っぽにしたもので、次の画像の赤い曲面を８つ張り合わせた形になります。
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この球面は数学では「２次元の球面」と呼び、次のように定義されます。
３次元空間の１点（たとえば座標の原点）からの距離が一定値にある点の集合
２次元の球面は３次元の球の外部との「境界」になっていますね。
２次元の球と１次元の球面
ひとつ次元を下げて２次元（平面）の世界で考えてみましょう。
次の画像は「円」ですが、「丸」とか「真ん丸」などいろいろな名前で呼ばれています。けれどもこれは３次元の球の次元を１つ下げたものですから「２次元の球」と呼ぶことにしましょう。
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すると２次元の球の定義は次のようになります。
２次元空間の１点（たとえば座標の原点）からの距離が一定値以下にある点の集合
座標の原点は円の中心です。
２次元の球（すなわち円）の外周のことも「円」や「丸」と呼んでいますが、正しくは「円周」と呼びます。このような形です。
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円周は１次元の曲線です。これは「２次元の球面」の外周（外との境界部分）のことですから「１次元の球面」と呼ぶことにしましょう。定義は次のようになります。
２次元空間の１点（たとえば座標の原点）からの距離が一定値にある点の集合
ここまでの説明で次の物体が登場しました。
３次元の球と、その境界としての２次元の球面
２次元の球と、その境界としての１次元の球面
さて、さらに次元を下げて１次元の空間には球や球面はあるのでしょうか？もちろんあります。２次元の球や１次元の球面の定義で次元を１つ下げればよいだけです。
１次元の球と０次元の球面
２次元の球の定義の次元をひとつ下げれば、次のようになりますね。これが「１次元の球」の定義です。
１次元空間の１点（たとえば座標の原点）からの距離が一定値以下にある点の集合
画像であらわすと、このようになります。つまり線分のことなのです。線分は１次元ですしね。奇妙に思えるかもしれませんが、これが定義から導かれる自然な形です。
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座標の原点は線分の中点です。
同じようにして「０次元の球面」の定義はこうなります。
１次元空間の１点（たとえば座標の原点）からの距離が一定値にある点の集合
形はこうなります。座標の原点から等しい距離にある２つの点のことです。
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Ｎ次元の球と（Ｎ－１）次元の球面
同じように考えて、球や球面の定義を４次元以上に拡張することもできます。残念ながらこのような球や球面を画像で示すことはできません。
４次元の球の定義：
４次元空間の１点（たとえば座標の原点）からの距離が一定値以下にある点の集合
３次元の球面の定義：
４次元空間の１点（たとえば座標の原点）からの距離が一定値にある点の集合
続けると球と球面はいくらでも高次元化できますね。
５次元の球と、その境界としての４次元の球面
６次元の球と、その境界としての５次元の球面
７次元の球と、その境界としての６次元の球面
８次元の球と、その境界としての７次元の球面
Ｎ次元の球と、その境界としての（Ｎ－１）次元の球面
ちなみに「ポアンカレ予想」は４次元の球の境界である「３次元の球面」についての話、「エキゾチックな球面」は８次元の球の境界である「７次元の球面」についての話です。どちらも私たちの３次元世界には存在できない高い次元の空間や物体の性質を述べているわけです。
～次元の球や～次元の球面という呼び方と、日常用語との対応がこんがらかってしまった方がいるかもしれませんので、表にまとめておきました。
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次に球や球面を切断することを考えてみましょう。
２次元の球や１次元の球面の切断
２次元の球を直線で切ってみましょう。これは２次元空間にある２次元の球の話です。このようになりますね。
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２次元の球を切ると青い線分があらわれます。これは「１次元の球」とも言えますよね？つまり「２次元の球を切断すると１次元の球が現れる。」と言えるのではないでしょうか？
１次元の球面も直線で切ってみます。このように２つの青い点が現れます。
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２つの青い点は「０次元の球面」のことですから「１次元の球面を切断すると０次元の球面が現れる。」と言えそうです。
３次元の球や２次元の球面の切断
３次元の球を平面で切ってみましょう。これは３次元空間にある３次元の球の話です。このようになりますね。
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現れたのは円ですから「２次元の球」と言えます。つまり「３次元の球を切断すると２次元の球が現れる。」と言えます。
２次元の球面も切ってみましょう。このようになります。この球の中は空っぽです。
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現れたのは円周ですから「１次元の球面」です。これは「２次元の球面を切断すると１次元の球面が現れる。」ということです。
整理すると、次の２つのことが言えます。
２≦Ｎとするとき、Ｎ次元空間で：
- Ｎ次元の球を（Ｎ－１）次元の物体を使って切断すると（Ｎ－１）次元の球があらわれる。
- （Ｎ－１）次元の球面を（Ｎ－１）次元の物体を使って切断すると（Ｎ－２）次元の球面があらわれる。
表にしてみました。
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また、この表から次のことが言えることがおわかりでしょうか？
- ４次元空間で４次元球を３次元物体（空間）で切断すると３次元の球が現れる。
これと大栗先生が「重力とは何か」の中で「４次元球が私たちの世界を訪れるとき、私たちには見ることのできない方向から突如として空間に「点」が現れ、それが徐々に広がって「球」になる。」が対応しているわけです。
表では黄色いセルの箇所で球の次元が３であることからそのように言えるのです。
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それでは「４次元空間に２次元物体を置くと一般的に３次元空間からは１次元の曲線として観測される。」が正しいことは、この表からどのようにしてわかるのでしょうか？
いいえ、この表からはわかりません。この表は４次元空間に４次元球を置いた場合です。今回は２次元の曲面を置いた場合を知りたいわけですから、４次元空間に置くのは３次元球のはずです。
つまり、次元の数字をひとつずつ減らして、次の表を完成させます。さきほどの表と比べてみてください。
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この表によると４次元空間に置いた２次元曲面（表の黄緑色のセル）を３次元空間で切断して見ると、１次元の曲線（黄色いセル）として見えることがわかります。
さて、次回の記事ですが３次元空間での話をする予定です。第５回までの記事では「ひもが絡まるのは３次元空間だけ」という話をしましたが、「ひもはなぜ絡まりやすいのか」については、まだ説明していません。次回はこれを説明いたします。
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球と球面
この連載記事では多次元空間のお話をさせていただいているのですから、多次元の球と球面の話をしないわけにはいきません。この記事では前回の記事の最後でお約束したように、第７回や前回の記事で確認した「４次元空間に２次元物体を置くと一般的に３次元空間からは１次元の曲線として観測される。」が正しいことを、球と球面の話を使って説明させていただきます。
ところで大栗博司先生がお書きになった「重力とは何か」の第３章「重力はなぜ生じるか － 一般相対論の世界」のはじめのほうに「４次元の球体が私たちの世界を訪れたときの様子について書かれています。この本では「私たちには見ることのできない方向から突如として空間に「点」が現れ、それが徐々に広がって「球」になる。」と説明しています。今回の記事はその部分がよくわからなかった方にもお役に立つはずです。
３次元の球と２次元の球面
記事トップの画像は「３次元の球」です。見ることはできませんが中身も詰まっています。数学でこのような球を定義するときは、次のように表現します。
３次元空間の１点（たとえば座標の原点）からの距離が一定値以下にある点の集合
座標の原点は球の中心です。
そして球の表面は「球面」ですよね？３次元球の表面は「面」ですから２次元の曲面です。球の中身を空っぽにしたもので、次の画像の赤い曲面を８つ張り合わせた形になります。
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この球面は数学では「２次元の球面」と呼び、次のように定義されます。
３次元空間の１点（たとえば座標の原点）からの距離が一定値にある点の集合
２次元の球面は３次元の球の外部との「境界」になっていますね。
２次元の球と１次元の球面
ひとつ次元を下げて２次元（平面）の世界で考えてみましょう。
次の画像は「円」ですが、「丸」とか「真ん丸」などいろいろな名前で呼ばれています。けれどもこれは３次元の球の次元を１つ下げたものですから「２次元の球」と呼ぶことにしましょう。
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すると２次元の球の定義は次のようになります。
２次元空間の１点（たとえば座標の原点）からの距離が一定値以下にある点の集合
座標の原点は円の中心です。
２次元の球（すなわち円）の外周のことも「円」や「丸」と呼んでいますが、正しくは「円周」と呼びます。このような形です。
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円周は１次元の曲線です。これは「２次元の球面」の外周（外との境界部分）のことですから「１次元の球面」と呼ぶことにしましょう。定義は次のようになります。
２次元空間の１点（たとえば座標の原点）からの距離が一定値にある点の集合
ここまでの説明で次の物体が登場しました。
３次元の球と、その境界としての２次元の球面
２次元の球と、その境界としての１次元の球面
さて、さらに次元を下げて１次元の空間には球や球面はあるのでしょうか？もちろんあります。２次元の球や１次元の球面の定義で次元を１つ下げればよいだけです。
１次元の球と０次元の球面
２次元の球の定義の次元をひとつ下げれば、次のようになりますね。これが「１次元の球」の定義です。
１次元空間の１点（たとえば座標の原点）からの距離が一定値以下にある点の集合
画像であらわすと、このようになります。つまり線分のことなのです。線分は１次元ですしね。奇妙に思えるかもしれませんが、これが定義から導かれる自然な形です。
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座標の原点は線分の中点です。
同じようにして「０次元の球面」の定義はこうなります。
１次元空間の１点（たとえば座標の原点）からの距離が一定値にある点の集合
形はこうなります。座標の原点から等しい距離にある２つの点のことです。
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Ｎ次元の球と（Ｎ－１）次元の球面
同じように考えて、球や球面の定義を４次元以上に拡張することもできます。残念ながらこのような球や球面を画像で示すことはできません。
４次元の球の定義：
４次元空間の１点（たとえば座標の原点）からの距離が一定値以下にある点の集合
３次元の球面の定義：
４次元空間の１点（たとえば座標の原点）からの距離が一定値にある点の集合
続けると球と球面はいくらでも高次元化できますね。
５次元の球と、その境界としての４次元の球面
６次元の球と、その境界としての５次元の球面
７次元の球と、その境界としての６次元の球面
８次元の球と、その境界としての７次元の球面
Ｎ次元の球と、その境界としての（Ｎ－１）次元の球面
ちなみに「ポアンカレ予想」は４次元の球の境界である「３次元の球面」についての話、「エキゾチックな球面」は８次元の球の境界である「７次元の球面」についての話です。どちらも私たちの３次元世界には存在できない高い次元の空間や物体の性質を述べているわけです。
～次元の球や～次元の球面という呼び方と、日常用語との対応がこんがらかってしまった方がいるかもしれませんので、表にまとめておきました。
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次に球や球面を切断することを考えてみましょう。
２次元の球や１次元の球面の切断
２次元の球を直線で切ってみましょう。これは２次元空間にある２次元の球の話です。このようになりますね。
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２次元の球を切ると青い線分があらわれます。これは「１次元の球」とも言えますよね？つまり「２次元の球を切断すると１次元の球が現れる。」と言えるのではないでしょうか？
１次元の球面も直線で切ってみます。このように２つの青い点が現れます。
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２つの青い点は「０次元の球面」のことですから「１次元の球面を切断すると０次元の球面が現れる。」と言えそうです。
３次元の球や２次元の球面の切断
３次元の球を平面で切ってみましょう。これは３次元空間にある３次元の球の話です。このようになりますね。
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現れたのは円ですから「２次元の球」と言えます。つまり「３次元の球を切断すると２次元の球が現れる。」と言えます。
２次元の球面も切ってみましょう。このようになります。この球の中は空っぽです。
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現れたのは円周ですから「１次元の球面」です。これは「２次元の球面を切断すると１次元の球面が現れる。」ということです。
整理すると、次の２つのことが言えます。
２≦Ｎとするとき、Ｎ次元空間で：
- Ｎ次元の球を（Ｎ－１）次元の物体を使って切断すると（Ｎ－１）次元の球があらわれる。
- （Ｎ－１）次元の球面を（Ｎ－１）次元の物体を使って切断すると（Ｎ－２）次元の球面があらわれる。
表にしてみました。
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また、この表から次のことが言えることがおわかりでしょうか？
- ４次元空間で４次元球を３次元物体（空間）で切断すると３次元の球が現れる。
これと大栗先生が「重力とは何か」の中で「４次元球が私たちの世界を訪れるとき、私たちには見ることのできない方向から突如として空間に「点」が現れ、それが徐々に広がって「球」になる。」が対応しているわけです。
表では黄色いセルの箇所で球の次元が３であることからそのように言えるのです。
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それでは「４次元空間に２次元物体を置くと一般的に３次元空間からは１次元の曲線として観測される。」が正しいことは、この表からどのようにしてわかるのでしょうか？
いいえ、この表からはわかりません。この表は４次元空間に４次元球を置いた場合です。今回は２次元の曲面を置いた場合を知りたいわけですから、４次元空間に置くのは３次元球のはずです。
つまり、次元の数字をひとつずつ減らして、次の表を完成させます。さきほどの表と比べてみてください。
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この表によると４次元空間に置いた２次元曲面（表の黄緑色のセル）を３次元空間で切断して見ると、１次元の曲線（黄色いセル）として見えることがわかります。
さて、次回の記事ですが３次元空間での話をする予定です。第５回までの記事では「ひもが絡まるのは３次元空間だけ」という話をしましたが、「ひもはなぜ絡まりやすいのか」については、まだ説明していません。次回はこれを説明いたします。
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