平方根（開平）と立方根（開立）
一般教養として平方根と立方根の計算手順を理解しておきたいと思い、そのための勉強にこの３連休をあてることにした。開平は「かいへい」と読み、開立は「かいりつ」あるいは「かいりゅう」と読む。
ネットにはさまざまな解説が見つかる。筆算用、算盤用の手順は違うし、筆算のやり方、算盤でのやり方にもいくつか流儀があるようだ。
とりあえず筆算、算盤用の手順を自己流の文字表現に変換して、計算手順を覚えることにした。以下、自分用の記録として残しておく。解説をつけないので読者にはわかりにくいと思うが、試行錯誤中なのでご容赦いただきたい。
筆算と算盤のどちらが楽なのか、どのような計算手順がよいのか、マスターするとしたらどの手順が覚えやすいのか、などを探っていきたい。
ちなみにウィキペディアでは単純な例について、筆算と算盤での計算手順が解説されている。
平方根（開平法）： ウィキペディアの記事
立方根（開立法）： ウィキペディアの記事
平方根の計算練習１： 答が自然数になる場合
以下の例は算盤用の計算手順を文字で表現したものだ。通常の九九と半九九で掛け算記号を次のように使い分けている。
6x4=24（通常の九九）
6*6=18（半九九：通常の九九を２で割る）
square root(529)=23
(5|29) 2^2=4
(2|05|29) 5-4=1
(2|01|29) 129/2=64.5
(2|00|64|5) 6/2=3,
(2|30|64|5) 3x23, 3x2=6
(2|30|04|5) 3*3=4.5
(2|30|00|0)
square root(60,516)=246
(6|05|16) 2^2=4
(2|06|05|16) 6-4=2
(2|02|05|16) 20516/2=10258
(2|01|02|58) /4
(2|41|02|58) 10258/2: 4x24 → 4x2=8, 4*4=8
(2|40|14|58) 1458/24 /6
(2|46|14|58) 6x246, 6x2=12,
(2|46|02|58) 6x4=24,
(2|46|00|18) 6*6=18
(2|46|00|00)
square root(841)=29
(8|41) 2^2=4
(2|08|41) 8-4=4
(2|04|41) 441/2=220.5
(2|02|20|50) 2205/2=1102.5
(2|92|20|50) 9x29, 9x2=18, 9*9=40.5
(2|90|40|50)
(2|90|00|00)
square root(1,764)=42
(17|64) 4^2=16
(4|17|64) 17-16=01
(4|01|64) 164/2=8.2
(4|00|82) 82/4=20.5, 2x4=8, 2*2=2
(4|20|00)
square root(253,009)=503
(25|30|09) 5^2=25
(5|25|30|09) 3009/2=1504.5
(5|00|15|04|50) 15045/5=3009, 3x5=15, 3x0=0, 3*3=4.5
(5|03|00|00|00)
square root(40,401)=201
(04|04|01) 2^2=4
(2|04|04|01) 4-4=0
(2|00|04|01) 401/2=200.5
(2|00|02|00|50) 2005/2=1002.5, 1x2=2, 1x0=0, 1*1=0.5
(2|01|00|00|00)
平方根の計算練習２： 答が無理数になる場合
以下の例は筆算用の手順を文字で表現したものだ。
square root(2)=1.414213562373095…
2:(1|02|00)
2?+?:(1?|100-2?x?|00) ?=4
24+4:(14|100-96|00)
28:(14|04|00)
28?+?:(14?|400-28?x?|00) ?=1
281+1:(141|400-281x1|00)
282:(141|119|00)
282?:(141?|11900-282?x?) ?=4
2824:(1414|11900-2824x4)
2824:(1414|604|00)
2824?+?:(1414?|60400-2824?x?) ?=2
28242+2:(14142|60400-28242x2)
28244:(14142|3916|00)
28244?+?:(14142?|391600-28244?x?) ?=1
282441+1:(141421|391600-282441x1)
282442:(141421|109159|00)
square root(5)=2.23606797749979…
(05) 2^2=4
2+2:(2|05-4)
4?+?:(2?|100-4?x?) ?=2
42+2:(22|100-42x2)
44:(22|16)
44?+?:(22?|1600-44?x?) ?=3
443+3:(223|1600-443x3)
446:(223|271)
446?+?:(223?|27100-446?x?) ?=6
4466+6:(2236|27100-4466x6)
4472:(2236|304)
4472?+?:(2236|30400-4472?x?) ?=0
44720:(22360|30400-44720x0)
44720?:(22360?|3040000-44720?x?) ?=6
447206:(223606|3040000-447206x6)
447206:(223606|356764)
立方根の計算練習： 答が無理数になる場合
筆算用の手順を文字表現に変換したもの。
cube root(3)=1.442249570307408…
(003) 1^3=1
3×1^2:3×1:(003-1)
300:30:(002|000)
300×?^1＜2000:30×?^2＜2000: ?=4
300×4=1200,30×4^2=480,4^3=64
300:30:(002|000-001|200-000|480-000|064)
300:30:(000|256)
300+30×4×2+3×4:30+3×4:(000|256)
588:42:(000|256)
58800:420:(256|000)
58800×?^1＜256000,420×?^2＜256000: ?=4
58000×4=235200,420×4^2=6720,4^3=64
58800:420:(256|000-235|200-006|720-000|064)
58800:420:(014:016)
58800+420×4×2+3×4^2:420+3×4:(014|016)
62208:432:(014|016)
6220800:4320:(014|016|000)
6220800×?^1＜14016:4320×?^2＜14016: ?=2
6220800×2=12441600,4320×2^2=17280,2^3=8
6220800:4320:(014|016|000-012|441|600-000|017|280-000|000|008)
6220800:4320:(001|557|112)
6220800+17280×2×2+3×2^2:4320+3×2:(001|557|112)
6238092:4326:(001|557|112)
623809200:43260:(001|557|112|000)
623809200×?^1＜1557112000:43260×?^2＜1557112000: ?=2
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一般教養として平方根と立方根の計算手順を理解しておきたいと思い、そのための勉強にこの３連休をあてることにした。開平は「かいへい」と読み、開立は「かいりつ」あるいは「かいりゅう」と読む。
ネットにはさまざまな解説が見つかる。筆算用、算盤用の手順は違うし、筆算のやり方、算盤でのやり方にもいくつか流儀があるようだ。
とりあえず筆算、算盤用の手順を自己流の文字表現に変換して、計算手順を覚えることにした。以下、自分用の記録として残しておく。解説をつけないので読者にはわかりにくいと思うが、試行錯誤中なのでご容赦いただきたい。
筆算と算盤のどちらが楽なのか、どのような計算手順がよいのか、マスターするとしたらどの手順が覚えやすいのか、などを探っていきたい。
ちなみにウィキペディアでは単純な例について、筆算と算盤での計算手順が解説されている。
平方根（開平法）： ウィキペディアの記事
立方根（開立法）： ウィキペディアの記事
平方根の計算練習１： 答が自然数になる場合
以下の例は算盤用の計算手順を文字で表現したものだ。通常の九九と半九九で掛け算記号を次のように使い分けている。
6x4=24（通常の九九）
6*6=18（半九九：通常の九九を２で割る）
square root(529)=23
(5|29) 2^2=4
(2|05|29) 5-4=1
(2|01|29) 129/2=64.5
(2|00|64|5) 6/2=3,
(2|30|64|5) 3x23, 3x2=6
(2|30|04|5) 3*3=4.5
(2|30|00|0)
square root(60,516)=246
(6|05|16) 2^2=4
(2|06|05|16) 6-4=2
(2|02|05|16) 20516/2=10258
(2|01|02|58) /4
(2|41|02|58) 10258/2: 4x24 → 4x2=8, 4*4=8
(2|40|14|58) 1458/24 /6
(2|46|14|58) 6x246, 6x2=12,
(2|46|02|58) 6x4=24,
(2|46|00|18) 6*6=18
(2|46|00|00)
square root(841)=29
(8|41) 2^2=4
(2|08|41) 8-4=4
(2|04|41) 441/2=220.5
(2|02|20|50) 2205/2=1102.5
(2|92|20|50) 9x29, 9x2=18, 9*9=40.5
(2|90|40|50)
(2|90|00|00)
square root(1,764)=42
(17|64) 4^2=16
(4|17|64) 17-16=01
(4|01|64) 164/2=8.2
(4|00|82) 82/4=20.5, 2x4=8, 2*2=2
(4|20|00)
square root(253,009)=503
(25|30|09) 5^2=25
(5|25|30|09) 3009/2=1504.5
(5|00|15|04|50) 15045/5=3009, 3x5=15, 3x0=0, 3*3=4.5
(5|03|00|00|00)
square root(40,401)=201
(04|04|01) 2^2=4
(2|04|04|01) 4-4=0
(2|00|04|01) 401/2=200.5
(2|00|02|00|50) 2005/2=1002.5, 1x2=2, 1x0=0, 1*1=0.5
(2|01|00|00|00)
平方根の計算練習２： 答が無理数になる場合
以下の例は筆算用の手順を文字で表現したものだ。
square root(2)=1.414213562373095…
2:(1|02|00)
2?+?:(1?|100-2?x?|00) ?=4
24+4:(14|100-96|00)
28:(14|04|00)
28?+?:(14?|400-28?x?|00) ?=1
281+1:(141|400-281x1|00)
282:(141|119|00)
282?:(141?|11900-282?x?) ?=4
2824:(1414|11900-2824x4)
2824:(1414|604|00)
2824?+?:(1414?|60400-2824?x?) ?=2
28242+2:(14142|60400-28242x2)
28244:(14142|3916|00)
28244?+?:(14142?|391600-28244?x?) ?=1
282441+1:(141421|391600-282441x1)
282442:(141421|109159|00)
square root(5)=2.23606797749979…
(05) 2^2=4
2+2:(2|05-4)
4?+?:(2?|100-4?x?) ?=2
42+2:(22|100-42x2)
44:(22|16)
44?+?:(22?|1600-44?x?) ?=3
443+3:(223|1600-443x3)
446:(223|271)
446?+?:(223?|27100-446?x?) ?=6
4466+6:(2236|27100-4466x6)
4472:(2236|304)
4472?+?:(2236|30400-4472?x?) ?=0
44720:(22360|30400-44720x0)
44720?:(22360?|3040000-44720?x?) ?=6
447206:(223606|3040000-447206x6)
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立方根の計算練習： 答が無理数になる場合
筆算用の手順を文字表現に変換したもの。
cube root(3)=1.442249570307408…
(003) 1^3=1
3×1^2:3×1:(003-1)
300:30:(002|000)
300×?^1＜2000:30×?^2＜2000: ?=4
300×4=1200,30×4^2=480,4^3=64
300:30:(002|000-001|200-000|480-000|064)
300:30:(000|256)
300+30×4×2+3×4:30+3×4:(000|256)
588:42:(000|256)
58800:420:(256|000)
58800×?^1＜256000,420×?^2＜256000: ?=4
58000×4=235200,420×4^2=6720,4^3=64
58800:420:(256|000-235|200-006|720-000|064)
58800:420:(014:016)
58800+420×4×2+3×4^2:420+3×4:(014|016)
62208:432:(014|016)
6220800:4320:(014|016|000)
6220800×?^1＜14016:4320×?^2＜14016: ?=2
6220800×2=12441600,4320×2^2=17280,2^3=8
6220800:4320:(014|016|000-012|441|600-000|017|280-000|000|008)
6220800:4320:(001|557|112)
6220800+17280×2×2+3×2^2:4320+3×2:(001|557|112)
6238092:4326:(001|557|112)
623809200:43260:(001|557|112|000)
623809200×?^1＜1557112000:43260×?^2＜1557112000: ?=2
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