多次元空間へのお誘い（１１）：ひもはなぜ絡みやすいのか？

絡まってしまった電飾

ひもはなぜ絡みやすいのか？

前回までの記事では多次元空間を舞台に空間や物体のありさまを説明してきましたが、今回は舞台を３次元空間に移します。

第４回の記事では「絡まるとはどういうことか？」、第５回の記事では「ひもが絡まるのは３次元空間だけ」ということを説明させていただきました。

今回の記事では「（３次元空間で）ひもはなぜ絡まりやすいのか？」を説明いたします。

複雑に絡んでいるひもをぼんやり見ていても、何も解決しません。実際にご自分でまっすぐに伸びたひもを手にとって少しずつ絡ませ、ひもにおきる変化をつぶさに観察していくと、理由はわかってくるはずです。

第４回の記事の「絡まるとはどういうことか？」で得た結論は次のようなものでした。

１）絡まるためには物体が「交差してループ（輪）ができて相手（または自分自身）を囲む」ことが必要

２）そのためにはその空間で物体が２方向に曲がることが必要

３）物体が曲がる方向の数（曲がりの自由度）は空間の次元数から物体の次元数を引いて求める

このうち１）がいちばん大切です。「交差してループ（輪）ができて相手（または自分自身）を囲む」の後、「そのループにひもの一部が入る」ことで「結び目」ができます。

これが（ひもも含めて）物体が絡まること、結び目ができることの本質です。ひもの場合、いちばん単純に絡まっている状態は次の写真で示されます。これはまだ結び目になっていない状態です。




さて、実際にひもを使って絡まっていく様子を見てみましょう。現実には３次元空間で様子を再現すべきなのですが、写真を撮るのがむずかしいので平面にひもを置いて再現してみました。

この状態から始めます。ポケットの中に入れたひもを想像してください。



ポケットの中でひもは自由に動き回ります。ひもは生き物ではないので自然には動きませんが、人が動くことでポケットが揺れたり曲ったりしますから、その中のひもは動いてしまいます。

ひもが動くことでひもの端は次の行き先を求めてさまよいます。ひもの端をヘビの頭のように思っても構いません。そしてひもの端が次のような移動を偶然したとします。



ひもが自分自身と交差してループがひとつ作られたことがおわかりになると思います。

ひもはさらに移動を続けます。ひもが次に移動する選択肢は２つあり、そのどちらかが偶然によって決まります。ひとつは１と書いた領域に移動すること、そしてもうひとつは２と書いた領域に移動することです。

１の領域に移動すると、ひもは最初の状態に戻ります。

けれども２の領域に移動すると状況はさらに複雑になります。２の領域に移動するにはループの上側を通る方法と下側を通る方法がありますが、下側を通ると「結び目」が作られることになります。ここでは上側を通った場合を考えましょう。次のようになります。



ひもが交差している箇所とループが増えてしまいました。交差するときは必ず上側からまたいで交差するときと、下側からくぐって交差するときの２通りがあります。いずれにしても交差することでループの数が増えることに変わりはありません。

ひもの端はさらに動き続けます。

１の領域にひもの端が移動すると、ひもはひとつ前の状態に戻ります。これが「ひとつほどける」ということです。

２の領域や３の領域に移動すると、ひもの状態はさらに複雑になります。これが「絡まっていく」ということです。

ひもの端がどこに移動するかは偶然によって決まります。１、２、３の選択をする確率はそれぞれの領域の面積に比例するのでしょうけれども、大ざっぱにとらえれば面積ではなく「領域の個数」で考えてもそれほど違いはでてきません。１の領域はとても広いですが、ひもの端が１の領域の中の遠いところに移動する確率はかなり小さいことです。


移動するときに１の領域を選択しない限り、ひもはますます絡まっていくことがおわかりだと思います。複数ある選択肢のうち「ほどけるための正解」はひとつだけなのです。１以外の選択肢はすべて不正解で、ひもは絡まりの度合いを強めていきます。

答の選択肢が複数あるクイズにたとえるとわかりやすいです。最初のクイズは２択です。正解できればよいのですが、不正解だと次に出されるクイズは３択になり、そのうち２つは不正解です。２回目のクイズで不正解すると３回目のクイズでは選択肢がさらに増え、そのうち正解は依然として１つだけなのです。偶然にまかせて次の答を選んでいる状況なのですから、不正解を選んでしまうのがいちばんおきやすいことですよね。

このように間違いをおかせばおかすほど、次に突きつけられるクイズは難問になり、状況はますます不利になっていきます。よほどじっくり考えて正解を選ぶステップを続けない限り、ひもが最初の状態に戻ることはありません。

つまり、ひもが絡まっていくのは「確率法則に従った結果」なのです。「起きやすいことは起きる」という確率の法則に従ってひもの端が移動していくことで絡まりの度合いが増していくのです。

せっかく写真を撮ったので、その後の展開を観察してみましょう。

先ほどの写真で、ひもの端が１の領域に移動した状態です。正解のはずなのですが事態はより複雑になってしまいました。



１の領域に移動するにしても、この写真の下のほうの領域に移動すれば正解なのですが、写真のように上側に移動すると交差が作られてしまいます。今回は２か所で交差が作られ、不正解の領域が２つも増えてしまいました。

つまり１の領域の中にも不正解になるケース、交差の数が増えて絡まりの度合いが強まるるケースがひそんでいるのです。１の領域の中で「交差を減らすことができる領域」が正解、「交差を増やしてしまう領域」が不正解なのだといえるでしょう。


ところでひもは端だけが動くわけではありません。ひもが伸びている部分、身体の部分と呼んでいいのかわかりませんが、ひも全体が動くわけです。（ヘビにたとえて腹の部分と表現しようかと思いましたが、はたしてヘビには腹があったかな？と思ったらよくわからなくなったので、ヘビにたとえるのはやめておきます。）

ひもの最初の状態が次のようなものであったとします。



この写真の右下のあたりに、ひもが湾曲している部分がありますよね？この部分が偶然、次のように移動するとこのようなことになります。



もう最悪です。ループが６個もできてしまいました。

みなさんは、ひもが絡まりやすいのはなぜなのか、もうおわかりになりましたよね？


ところで第３回の記事では次のことを紹介させていただきました。

- ４次元空間では面と面、あるいは面が自分自身と絡む
- ５次元空間では立体と立体、あるいは立体が自分自身と絡む
- ６次元空間では４次元物体と４次元物体、あるいは４次元物体が自分自身と絡む

５次元、６次元空間でそうなるかは第５回の記事の終わりのほうで説明した理由により確証がもてませんが、少なくとも４次元空間では今回の記事で説明したのと同じしくみで面が絡まりやすいと言えるはずです。


固結びと蝶結び

ひもが絡むことだけでなく、ひもを結ぶことにも触れておきましょう。

蝶結びは簡単にほどけますが、固結びはなかなかほどけません。その違いも今回説明したしくみで理解できます。

どちらの結び方をするにしても、最初はこのようにひもを交差させますよね。



固結びをするときは、第２段階で次のように交差させます。これは絡まるだけでなく、結び目を作っている状態ですね。不正解のループが５つもあるので容易にほどけません。



蝶結びをするときは、最初の状態から次のようにひもを交差させます。ちょっとわかりずらいかもしれませんが、よく観察してみてください。固結びよりループの数が多く、複雑に絡まっているように見えます。



けれどもこの状況の中に、次のような構造があることに注意してください。



赤いひもが作るループの中を青いひもがくぐって「不正解」、つまり絡まりの度合いを強めた状態になっていますよね。

けれども青いひもの端はループをくぐる前の位置にあります。ここからひもを手繰り寄せればひもはループをくぐる前の状態に戻ることができます。

これは命綱をつけてクイズに臨んでいるようなものですね。「不正解の洞窟」に入ってしまっても、外から引っ張って助け出してもらえるという状況です。

蝶結びが簡単にほどけるのは、このようなしくみによるものです。


ひもにさまざまな結び方があることは、みなさんもご存知だと思いますし、それは日常生活にとても役立っています。

たとえば釣り糸にはものすごくたくさんの種類の結び方があります。時間をかけずに結べることが大切ですし、ほどけにくいということも大切です。そしてルアーは再利用するものですから、ルアーに結んだひもは、ほどきたいときには簡単にほどけることが要求されるのです。

また、引っ越し業者が荷物を結ぶとき、ロープは素早く、ほどけないように結ぶようにしなければなりません。また引っ越し先では素早くロープを解けるようにしておくことが大切です。

ひもの高度な結び方、テクニックを調べてみるのも面白いと思います。


さて、次回の記事では「髪の毛の絡まり」についての話をさせていただきます。


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