万有引力の法則（逆2乗則）の逆問題を解説する本と動画

ファインマン先生のオンライン講義を受けるアイザック・ニュートン

先日「ニュートンの『プリンキピア』がブルーバックスで復刊！」という記事で、アイザック・ニュートンによる歴史的な名著が42年ぶりに講談社ブルーバックスから復刊されていることを紹介した。

この著作でニュートンはケプラーの法則を数学的に証明したとされているが、注意しなければならないことがある。たしかにニュートンは惑星の楕円運動から万有引力の法則を微積分を使わずにユークリッド幾何学、つまり作図による方法で導いたのだが、その逆のことは導けていないのだ。

楕円運動から万有引力の法則を導くことを「順問題」と呼んでいる。そして「万有引力の法則（逆2乗則）の力が働いていて、軌道が閉じているとき、軌道は楕円になる」ことを導くのを「逆問題」と呼んでいる。ニュートンは逆問題のほうを解けていなかったのだ。運動から力を求めるのが順問題で、力から運動を求めるのが逆問題である。（逆問題のほうが順問題よりも難しい。）

歴史上、順問題を初めて解いたのは、もちろんニュートンであるが、微積分を使って初めて解いたのはピエール・ヴァリニョンである。

Pierre Varignon（ピエール・ヴァリニョン）: 1654-1722

- 運動の法則を微分学を使って記述することへの貢献
- 力を受けて速度変化をする１次元運動の研究
- 中心力を受けて速度変化する２次元運動の研究
- ２次元調和振動の研究
- ケプラー運動と万有引力の導出

そして歴史上、逆問題を初めて解いたのはヤコブ・ヘルマンとヨハン・ベルヌーイである。

Jakob Hermann（ヤコブ・ヘルマン）: 1678-1733

- 逆２乗の引力に対して運動方程式の積分を初めて実行して逆問題を解いた

Johan Bernoulli（ヨハン・ベルヌーイ）: 1667-1748

- 逆２乗の引力に対して運動方程式の積分を極座標の方程式により逆問題を解いた
- ケプラーの法則と万有引力の導出（極座標）
- 惑星の運動が円錐曲線（楕円、放物線、双曲線）になることを導出


今回の記事では、順問題の解き方と逆問題の解き方を知るための情報をまとめておくことにした。


順問題の解法

楕円運動から万有引力の法則を導くのが順問題である。現代的な解法は、このページに書かれている。

順問題の解法：
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/bannyuu/bannyuu.html

順問題の解法は『プリンキピア』に書かれているほか、ニュートンによるユークリッド幾何を用いた解法が次の本の146ページから詳しく解説されている。

「プリンキピアを読む―ニュートンはいかにして「万有引力」を証明したのか? 」（Kindle版）



逆問題の解法

万有引力の法則（逆2乗則）の力が働いていて、軌道が閉じているとき、軌道は楕円になることを導くのが逆問題である。現代的な解法は、このページに書かれている。

逆問題の解法（英語ページ）：
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/152.mf1i.spring02/KeplersLaws.htm

ヤコブ・ヘルマンやヨハン・ベルヌーイが逆問題を初めて解いたわけだが、彼らは微積分を使った解析的な解法だった。ニュートンが『プリンキピア』で採用したユークリッド幾何（作図）を用いた解法に、史上初めて成功したのはおそらくリチャード・ファインマンだと思われる。ニュートンが解けなかった問題を、277年後の1964年にファインマン先生が解決してくれたのだ。（参考記事：「ファインマン先生の自伝本と講演本」、「ファインマン物理学（英語版）が全巻ネット公開されました。」）


ファインマン先生は逆問題の解法テーマに1964年3月13日に特別講義を行なった。（参照：「Feynman's Lost Lecture」）この講義を書籍化したのが次の本である。この２冊の内容は同じだ。

「ファインマンの特別講義―惑星運動を語る (岩波現代文庫) 」- 2017年刊行
「ファインマンさん,力学を語る」- 1996年刊行
　

目次
1 コペルニクスからニュートンまで
2 ファインマン―1つの回想
3 楕円の法則のファインマンの証明
4 太陽のまわりの惑星の運動


翻訳のもとになった原書は1996年に刊行された。そしてこの本のもとになったファインマン先生の講義の音声を聞くことができる。原書を読みながら再生するとよいだろう。講義の部分は「4. "The Motion of Planets Around the Sun" (March 13, 1964) 」の章に対応している。（講義音声を再生）

「Feynman's Lost Lecture: The Motion of Planets Around the Sun (Hardcover)」(Paperback)(Kindle Edition)


Preface
Introduction
1. From Copernicus to Newton
2. Feynman: A Reminiscence
3. Feynman's Proof of the Law of Ellipses
4. "The Motion of Planets Around the Sun" (March 13, 1964)
Epilogue
Feynman's Lecture Notes
Bibliography
Index

ファインマン先生が教鞭をとられていたカリフォルニア工科大学のサイトで、本書の紹介がPDFファイルで公開されている。（PDFファイルを開く）


また、ファインマン先生のこの講義を解説する動画がYouTubeにアップロードされている。

Feynman's Lost Lecture (ft. 3Blue1Brown) 英語字幕付き


Orbital Dynamics Part 41 -- Feynman's Lost Lecture


Feynman's Lost Lectures (8 videos)：再生リスト



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