「「集合と位相」をなぜ学ぶのか：藤田博司」（Kindle版）
内容紹介：
抽象的でわかりづらいと評判のよくない因果な科目「集合と位相」。
そもそもいったいなぜこんなことを学ぶの?
そんなあなたも本書を読めば「集合と位相」に刻まれた数学者たちの創意工夫、
そして数学の発展の過程がみるみる見えてきます!
2018年3月6日刊行、224ページ。
著者について：
藤田博司(ふじた ひろし)
1964年京都生まれ。 立命館大学理工学部卒。名古屋大学大学院理学研究科中退。 博士(学術)。
現在、 愛媛大学大学院理工学研究科特任講師。 専門は数学基礎論、 とくに集合論。
著書に『魅了する無限』(技術評論社、 2009年)、 訳書に『集合論-独立性証明への案内』
(ケネス・キューネン著、 日本評論社、 2008年)、 『キューネン数学基礎論講義』
(ケネス・キューネン著、 日本評論社、 2016年)がある。
理数系書籍のレビュー記事は本書で364冊目。
前回の紹介記事「素粒子論のランドスケープ2：大栗博司」と同様、こちらも「博司さん」がお書きになった本だ。ただし、このジョークを言いたかったからこのタイミングで紹介したわけではない。たまたまである。
本書は #新入生に勧める数学書2018 というタグで僕を含め何人かの方がツイートしていた。
新学期が始まり、高校数学と大学数学のギャップに戸惑いを感じる新入生がでてくる頃だろう。１年次に学ぶ微積分や線形代数は想定の範囲だと思うが、集合論・位相を学ぶ意味を見出せず、学習意欲が落ちている学生はきっといるはず。また２年次の学生だと解析学で実数の連続性、ε-δ論法あたりで「もしかすると学部、学科選択を間違ってしまったかも。。。」と後悔している学生がいるかもしれない。
高校数学の基礎では実感や直観に照らして公式を理解・暗記し、応用問題では解法に慣れるための勉強していただろう。受験数学では問題のパターン別に、どれだけたくさんの解法を覚え、習熟することが求められていた。大学ではもっと複雑で高度な数学、抽象的で深淵な数学を学ぶのだと思っていたかもしれない。
実数や関数の連続性などは抽象的だと思えない、わかりきったことを、なぜこれほど細かくいくつも証明していかなければならないのか？モチベーション下がりまくり。そのような新入生に再びやる気をおこしてもらう本だ。高校数学と大学数学の橋渡しをしてくれる副読本。
大学数学をすでに一通り終えた方、本書の詳細目次を見ただけで何が書かれているかを想像できる人は、あえて本書を読む必要はない。しかし、そのような方でも楽しめ、自分が学生のときにこんな本があったらよかったなぁと、しみじみ感じるという読み方もできる。（もちろん僕は後者の人だ。）
僕は数学専攻だったから、本書に書かれている項目がシラバスにあったことを覚えているが、理学系の他の学科や工学部では何をどこまで深く学ぶのだろうと思い、シラバスを調べてみたくなった。
数学史や数学者の短い伝記を読みながら、現代数学が集合論や位相を起点にして、どのように構築されていったか、ブルバキの数学原論とは何か？数学の生の歴史として難しそうな概念や、考え方がどのように創られ、現代数学の発展を支えているかをおわかりいただけるだろう。
各章で取り上げられているテーマは、それぞれ教科書１冊で学ぶべき内容だ。それぞれ教科書で読むのは自分の履修スケジュールに合わせ、導入的なことと、エッセンスをさしあたり本書で先取りしておくとよい。理工系の新入生にちょうどよいレベルで書かれている。
『数学ガイダンス201X』（数学セミナー増刊）は大学数学全体を俯瞰してみるのに良い本、本書はとりあえずもう一歩踏み込んで教科書や講義の背景を知っておくのによい本である。
章立てはこのとおり。
第1章 フーリエ級数と「任意の関数」
第2章 積分の再定義
第3章 実数直線と点集合
第4章 平面と直線は同じ大きさ?
第5章 やっぱり平面と直線は違う
第6章 ボレルの測度とルベーグの積分
第7章 集合と位相はこうして数学の共通語になった
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「「集合と位相」をなぜ学ぶのか：藤田博司」（Kindle版）
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第1章 フーリエ級数と「任意の関数」
- フーリエの時代
- 熱伝導方程式とフーリエ級数
- フーリエ級数の実例
- フーリエ理論の問題点
第2章 積分の再定義
- 式としての関数：１８世紀まで
- ディリクレの定理
- リーマン積分
- 積分可能性をめぐる混乱
第3章 実数直線と点集合
- 点集合
- 実数の連続性の３つの表現
- 実数は可算でない
第4章 平面と直線は同じ大きさ?
- 集合の用語と記号
- 集合とその濃度
- 数学の基礎としての集合論-デデキントの業績
- 直線と平面は同じ大きさ
第5章 やっぱり平面と直線は違う
- カントールの憂慮
- 平面の点集合、点列の収束とε-近傍
- 写像の連続性
- 内部と外部の境界
- 閉包
- 開集合と閉集合
- 位相同型写像と同相な点集合
- 連結性
- 平面と直線は同相ではない
- 位相ということば
第6章 ボレルの測度とルベーグの積分
- 新しい解析学
- 測度
- ハイネ-ボレルの定理
- ルベーグと測度の問題
- 可測関数とルベーグ積分
- ルベーグ積分の特長
- 測度と確率論
第7章 集合と位相はこうして数学の共通語になった
- ユークリッドと2000年間の難問
- 構造の研究としての数学
- まとめ：数学の共通語としての集合と位相
内容紹介：
抽象的でわかりづらいと評判のよくない因果な科目「集合と位相」。
そもそもいったいなぜこんなことを学ぶの?
そんなあなたも本書を読めば「集合と位相」に刻まれた数学者たちの創意工夫、
そして数学の発展の過程がみるみる見えてきます!
2018年3月6日刊行、224ページ。
著者について：
藤田博司(ふじた ひろし)
1964年京都生まれ。 立命館大学理工学部卒。名古屋大学大学院理学研究科中退。 博士(学術)。
現在、 愛媛大学大学院理工学研究科特任講師。 専門は数学基礎論、 とくに集合論。
著書に『魅了する無限』(技術評論社、 2009年)、 訳書に『集合論-独立性証明への案内』
(ケネス・キューネン著、 日本評論社、 2008年)、 『キューネン数学基礎論講義』
(ケネス・キューネン著、 日本評論社、 2016年)がある。
理数系書籍のレビュー記事は本書で364冊目。
前回の紹介記事「素粒子論のランドスケープ2：大栗博司」と同様、こちらも「博司さん」がお書きになった本だ。ただし、このジョークを言いたかったからこのタイミングで紹介したわけではない。たまたまである。
本書は #新入生に勧める数学書2018 というタグで僕を含め何人かの方がツイートしていた。
新学期が始まり、高校数学と大学数学のギャップに戸惑いを感じる新入生がでてくる頃だろう。１年次に学ぶ微積分や線形代数は想定の範囲だと思うが、集合論・位相を学ぶ意味を見出せず、学習意欲が落ちている学生はきっといるはず。また２年次の学生だと解析学で実数の連続性、ε-δ論法あたりで「もしかすると学部、学科選択を間違ってしまったかも。。。」と後悔している学生がいるかもしれない。
高校数学の基礎では実感や直観に照らして公式を理解・暗記し、応用問題では解法に慣れるための勉強していただろう。受験数学では問題のパターン別に、どれだけたくさんの解法を覚え、習熟することが求められていた。大学ではもっと複雑で高度な数学、抽象的で深淵な数学を学ぶのだと思っていたかもしれない。
実数や関数の連続性などは抽象的だと思えない、わかりきったことを、なぜこれほど細かくいくつも証明していかなければならないのか？モチベーション下がりまくり。そのような新入生に再びやる気をおこしてもらう本だ。高校数学と大学数学の橋渡しをしてくれる副読本。
大学数学をすでに一通り終えた方、本書の詳細目次を見ただけで何が書かれているかを想像できる人は、あえて本書を読む必要はない。しかし、そのような方でも楽しめ、自分が学生のときにこんな本があったらよかったなぁと、しみじみ感じるという読み方もできる。（もちろん僕は後者の人だ。）
僕は数学専攻だったから、本書に書かれている項目がシラバスにあったことを覚えているが、理学系の他の学科や工学部では何をどこまで深く学ぶのだろうと思い、シラバスを調べてみたくなった。
数学史や数学者の短い伝記を読みながら、現代数学が集合論や位相を起点にして、どのように構築されていったか、ブルバキの数学原論とは何か？数学の生の歴史として難しそうな概念や、考え方がどのように創られ、現代数学の発展を支えているかをおわかりいただけるだろう。
各章で取り上げられているテーマは、それぞれ教科書１冊で学ぶべき内容だ。それぞれ教科書で読むのは自分の履修スケジュールに合わせ、導入的なことと、エッセンスをさしあたり本書で先取りしておくとよい。理工系の新入生にちょうどよいレベルで書かれている。
『数学ガイダンス201X』（数学セミナー増刊）は大学数学全体を俯瞰してみるのに良い本、本書はとりあえずもう一歩踏み込んで教科書や講義の背景を知っておくのによい本である。
章立てはこのとおり。
第1章 フーリエ級数と「任意の関数」
第2章 積分の再定義
第3章 実数直線と点集合
第4章 平面と直線は同じ大きさ?
第5章 やっぱり平面と直線は違う
第6章 ボレルの測度とルベーグの積分
第7章 集合と位相はこうして数学の共通語になった
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「「集合と位相」をなぜ学ぶのか：藤田博司」（Kindle版）
第1章 フーリエ級数と「任意の関数」
- フーリエの時代
- 熱伝導方程式とフーリエ級数
- フーリエ級数の実例
- フーリエ理論の問題点
第2章 積分の再定義
- 式としての関数：１８世紀まで
- ディリクレの定理
- リーマン積分
- 積分可能性をめぐる混乱
第3章 実数直線と点集合
- 点集合
- 実数の連続性の３つの表現
- 実数は可算でない
第4章 平面と直線は同じ大きさ?
- 集合の用語と記号
- 集合とその濃度
- 数学の基礎としての集合論-デデキントの業績
- 直線と平面は同じ大きさ
第5章 やっぱり平面と直線は違う
- カントールの憂慮
- 平面の点集合、点列の収束とε-近傍
- 写像の連続性
- 内部と外部の境界
- 閉包
- 開集合と閉集合
- 位相同型写像と同相な点集合
- 連結性
- 平面と直線は同相ではない
- 位相ということば
第6章 ボレルの測度とルベーグの積分
- 新しい解析学
- 測度
- ハイネ-ボレルの定理
- ルベーグと測度の問題
- 可測関数とルベーグ積分
- ルベーグ積分の特長
- 測度と確率論
第7章 集合と位相はこうして数学の共通語になった
- ユークリッドと2000年間の難問
- 構造の研究としての数学
- まとめ：数学の共通語としての集合と位相