開平と開立(第23回)：45,118,016の算盤による開立(３根法７)

「開立はん」に45,118,016を置いたところ拡大

[English]

前回に続き今回も算盤での開立の手順を解説する。

今回は3根法で根が3桁で既根を一進させる場合だ。一進とは左に1桁シフトさせることである。理論編も参考にしていただきたい。

開立（立方根）：3根法(3倍根法、3商法)、定数法、3a^2法、三除九九、三分九九法、三分九九法別法、乗減法(変商法)、3根^2法、折衷法、過大数開立、省略開立など


算盤による45,118,016の3乗根の解法（答は356）

第１群の数とは立方根を求める数を３桁ずつ区切り、いちばん大きい（いちばん左）の３桁のことである。群の数が根の桁数となる。

45,118,016 -> (45|118|016): 45が第１群の数、根の桁数は3。


手順１：45118016を置く。第1群は45。


手順２：45以下の立方数は27=3^3。3を初根としEに立てる。


手順３：45-27=18をHIに置く。(-a^3)


手順４：3倍根(3×初根)、3x3=9をBに置く。


手順５：3倍根=9でH以降を初根の次4桁目(定位置)に商が立つまで割る。(÷3a)


手順６：18÷9=2余り0。 商2をGに置く。


手順７：余り00をHIに置く。


手順８：11÷9=1余り2。


手順９：商1をIに置く。


手順１０：余り02をJKに置く。


手順１１：GHの20を既根3で割る。20÷3=5余り5。


手順１２：商5を次根としてFに置く。


手順１３：余り05をGHに置く。


手順１４：HIの51から次根^2を引く。(-b^2)


手順１５：つまり51-5^2=26をHIに置く。


手順１６：3倍根9と平方減の余りHIの26を掛け、234を得る。（3根乗）


手順１７：HIの26を00にする。


手順１８：IJKの002に234を足す。


手順１９：つまり002+234=236をIJKに置く。


手順２０：次根^3をJKLの368から引く。 (-b^3)


手順２１：つまり368-5^3=243をJKLに置く。


手順２２：3倍根(ABC)に注目する。


手順２３：次根5の3倍=15を3倍根(BC)に加える。つまりABCに105を置く。


手順２４：3倍根は1が繰り上がったので、これは初根が4桁以上の形となる。


手順２５：したがって既根35を一進させる。（1桁左にずらす。）


手順２６：3倍根=105でI以降を定位置に商が立つまで割る。(÷3a)


手順２７：IJKの224を3倍根105で割る。224÷105=2余り14。商2をGに置く。


手順２８：余り014をIJKに置く。


手順２９：143÷105=1余り38。


手順３０：商1をHに置く。


手順３１：余り038をJKLに置く。


手順３２：380÷105=3余り65。


手順３３：商3をIに置く。


手順３４：余り065をKLMに置く。


手順３５：651÷105=6余り21。


手順３６：商6をJに置く。


手順３７：余り021をLMNに置く。


手順３８：GHIの213を既根の35で割る。


手順３９：213÷35=6余り3。商6を第3根としFに置く。


手順４０：余り003をGHIに置く。


手順４１：第3根^2をIJの36から引く。 (-c^2)


手順４２：36-6^2=00をIJに置く。


手順４３：第3根^3をMNOの216から引く。(-c^3)


手順４４：216-6^3=000をMNOに置く。


手順４５：立方根は356と求まる。


最終状態： 答 356


珠の状態推移を表にすると次のようになる。（クリックで拡大）




第２４回も開立法（３根法）である。


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ファインマン v.s. 算盤の達人： ファインマン先生に立方根計算の雪辱を果たそう
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