竿に絡まったひも
ひらめいたこと
前回の記事の最後で僕がひらめいたのは、同じことが多次元空間でも言えるのではないかということなのです。もう一度おさらいしておきましょう。
３次元空間での布団干しはこの写真です。
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そして布団だけ次元数を１つ減らすと次のようになります。
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竿と布団ではなく「ひもとひも」になってしまいました。「ひもとひも」は絡まりあう関係です。この状況だと青いひもをこのように絡ませることができます。
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その他の次元の空間でも同じことをしてみましょう。多次元空間での布団干しの竿と布団の次元数の表はこのように求めてありました。
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布団の次元数だけ１つ減らすと次のようになります。もはや竿と布団ではなくなってしまったので「赤い物体」、「青い物体」と呼ぶことにしましょう。
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これがそれぞれの次元の空間で絡まりあうモノの次元数だと思えるわけです。ひもは自分自身と絡まりますし、２本のひもが絡むのも本質的には同じことです。けれども多次元空間に同じ理屈をいきなり当てはめてしまってよいものでしょうか？
後に説明させていただきますが、このことは他の次元数の空間にもあてはめてよいのです。
多次元空間で絡み合うモノは？
まず２次元空間ですが先ほどの表によると０次元の点と点が絡まることになってしまいます。けれども絡まるためには「曲がる」ことが必要なので「点」では駄目です。ですので、２次元空間にはあてはまりません。（そして１次元空間だと物体も存在できないので、表には「なし」と書いておきました。）
もちろん３次元空間では１次元のひもとひも、もしくはひも自身が絡まります。
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４次元空間ではは２次元の面と面、もしくは面が自分自身で絡まります。
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５次元空間では３次元の立体と立体、もしくは立体が自分自身で絡まります。
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そして６次元空間では４次元の超立体と超立体、もしくは超立体が自分自身で絡まることが示されます。
どうやら「ひもが絡まってしまうのは３次元空間特有の現象だ。」ということも言えそうですね。
面や立体が絡まっている状況を想像できないのは僕もみなさんと同じです。ご安心ください。
いきなり６次元空間まで登場して「さっぱりわからん！」という方もいらっしゃると思いますので、３次元空間の中に多次元空間を表現するひとつの方法をご紹介しましょう。
多次元空間のあらわしかた
それぞれの次元の空間に「座標」を次のように決めておきましょう。各空間は座標軸の方向にそれぞれ広がっています。それぞれの座標軸はどの２つをとっても空間の原点（空間の中心）で直角に交わっています
１次元空間：X軸
２次元空間：X軸、Y軸
３次元空間：X軸、Y軸、Z軸
４次元空間：X軸、Y軸、Z軸、U軸
５次元空間：X軸、Y軸、Z軸、U軸、V軸
６次元空間：X軸、Y軸、Z軸、U軸、V軸、W軸
２次元空間のあらわしかた
まず２次元空間ですが、次のようにあらわします。これは説明しなくても大丈夫ですね。
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３次元空間のあらわしかた
次に３次元空間です。このブログ記事では２次元空間の上に（写真には矢印で示していませんが）Z軸が高さの方向に伸びているとするわけです。
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このとき２次元空間の上に３次元物体を置くとこのようになります。
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４次元空間のあらわしかた
さて４次元空間ですが、３次元空間＋１次元空間と考えて次のようにあらわします。（写真には矢印で示していませんが）U軸が高さの方向に伸びていると考えます。
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３次元空間をまとめて１枚の平面に入れてしまうわけです。このとき３次元空間の中に存在する３次元物体を４次元空間全体で見るとき、このような写真で示します。先ほどの立方体の写真を撮って印刷したものを面の上におきました。でも、後日説明いたしますが実際にこのような形で見えるわけではありませんのでご注意ください。
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ところで３次元空間は２次元空間が高さの方向（Z軸の方向）に無限個重なって作られていると考えることもできます。つまり無限個の２次元空間のパラレルワールド（並行空間）で３次元空間ができているとみなすわけです。
すると４次元空間は３次元空間がU軸の方向に無限個重なって作られていると考えられますね。無限個の３次元空間のパラレルワールドをお見せするのは無理なので、その中から２つの３次元空間をお見せするとこのようになります。
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上下それぞれの３次元空間にX軸、Y軸、Z軸があるのがおわかりだと思います。図示していませんが上の方向がU軸です。
３次元空間それぞれに３次元の物体を置いてみるとこうなります。２つの世界はお互いに見ることができません。お互いの存在を知ることはできないのです。
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５次元空間のあらわしかた
５次元空間のあらわしかたは、もうおわかりですね？次のように４次元空間の上方向にV軸が伸びていると考えればよいのです。
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５次元空間は無限個の４次元空間が積み重なってできているともみなせます。５次元空間の中の２つの４次元空間のパラレルワールドは次のようなものです。
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６次元空間のあらわしかた
６次元空間は次のように５次元空間の上方向にV軸が伸びています。
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６次元空間は無限個の５次元空間が積み重なってできているとみなせます。６次元空間の中の２つの５次元空間のパラレルワールドは次のようなものです。
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５次元空間、６次元空間のあらわしかた（その２）
５次元空間と６次元空間について、この連載記事では次のようなあらわしかたをする場合もあります。５次元空間は３次元＋２次元、６次元空間は３次元＋３次元と考える方法です。図示すると次のようになります。
５次元空間では写真の中の平面の上の空間にU軸とV軸があると考えます。同じ写真を使って６次元空間では平面の上の空間にU軸、V軸、W軸があると考えるわけです。
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まぎらわしいですが、その都度ご説明いたしますので安心してください。
最後になりますが、この連載記事では次のような言葉も使わせていただくことにします。これまでにお見せした各次元空間について写真全体に写っている部分を「全空間」、そして透明プラスチックの平面であらわした空間のことを「居住空間」と呼ぶことにいたしましょう。
さて、次回の記事からようやく「種明かし」が始まります。
関連記事：
多次元空間へのお誘い（１）：はじめに
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/3c2bacd624695dcad7dd2fa9feadd5bd
多次元空間へのお誘い（２）：４次元空間での布団干し
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/81fb8e0a7f148699fcda78486f868903
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ひらめいたこと
前回の記事の最後で僕がひらめいたのは、同じことが多次元空間でも言えるのではないかということなのです。もう一度おさらいしておきましょう。
３次元空間での布団干しはこの写真です。
そして布団だけ次元数を１つ減らすと次のようになります。
竿と布団ではなく「ひもとひも」になってしまいました。「ひもとひも」は絡まりあう関係です。この状況だと青いひもをこのように絡ませることができます。
その他の次元の空間でも同じことをしてみましょう。多次元空間での布団干しの竿と布団の次元数の表はこのように求めてありました。
布団の次元数だけ１つ減らすと次のようになります。もはや竿と布団ではなくなってしまったので「赤い物体」、「青い物体」と呼ぶことにしましょう。
これがそれぞれの次元の空間で絡まりあうモノの次元数だと思えるわけです。ひもは自分自身と絡まりますし、２本のひもが絡むのも本質的には同じことです。けれども多次元空間に同じ理屈をいきなり当てはめてしまってよいものでしょうか？
後に説明させていただきますが、このことは他の次元数の空間にもあてはめてよいのです。
多次元空間で絡み合うモノは？
まず２次元空間ですが先ほどの表によると０次元の点と点が絡まることになってしまいます。けれども絡まるためには「曲がる」ことが必要なので「点」では駄目です。ですので、２次元空間にはあてはまりません。（そして１次元空間だと物体も存在できないので、表には「なし」と書いておきました。）
もちろん３次元空間では１次元のひもとひも、もしくはひも自身が絡まります。
４次元空間ではは２次元の面と面、もしくは面が自分自身で絡まります。
５次元空間では３次元の立体と立体、もしくは立体が自分自身で絡まります。
そして６次元空間では４次元の超立体と超立体、もしくは超立体が自分自身で絡まることが示されます。
どうやら「ひもが絡まってしまうのは３次元空間特有の現象だ。」ということも言えそうですね。
面や立体が絡まっている状況を想像できないのは僕もみなさんと同じです。ご安心ください。
いきなり６次元空間まで登場して「さっぱりわからん！」という方もいらっしゃると思いますので、３次元空間の中に多次元空間を表現するひとつの方法をご紹介しましょう。
多次元空間のあらわしかた
それぞれの次元の空間に「座標」を次のように決めておきましょう。各空間は座標軸の方向にそれぞれ広がっています。それぞれの座標軸はどの２つをとっても空間の原点（空間の中心）で直角に交わっています
１次元空間：X軸
２次元空間：X軸、Y軸
３次元空間：X軸、Y軸、Z軸
４次元空間：X軸、Y軸、Z軸、U軸
５次元空間：X軸、Y軸、Z軸、U軸、V軸
６次元空間：X軸、Y軸、Z軸、U軸、V軸、W軸
２次元空間のあらわしかた
まず２次元空間ですが、次のようにあらわします。これは説明しなくても大丈夫ですね。
３次元空間のあらわしかた
次に３次元空間です。このブログ記事では２次元空間の上に（写真には矢印で示していませんが）Z軸が高さの方向に伸びているとするわけです。
このとき２次元空間の上に３次元物体を置くとこのようになります。
４次元空間のあらわしかた
さて４次元空間ですが、３次元空間＋１次元空間と考えて次のようにあらわします。（写真には矢印で示していませんが）U軸が高さの方向に伸びていると考えます。
３次元空間をまとめて１枚の平面に入れてしまうわけです。このとき３次元空間の中に存在する３次元物体を４次元空間全体で見るとき、このような写真で示します。先ほどの立方体の写真を撮って印刷したものを面の上におきました。でも、後日説明いたしますが実際にこのような形で見えるわけではありませんのでご注意ください。
ところで３次元空間は２次元空間が高さの方向（Z軸の方向）に無限個重なって作られていると考えることもできます。つまり無限個の２次元空間のパラレルワールド（並行空間）で３次元空間ができているとみなすわけです。
すると４次元空間は３次元空間がU軸の方向に無限個重なって作られていると考えられますね。無限個の３次元空間のパラレルワールドをお見せするのは無理なので、その中から２つの３次元空間をお見せするとこのようになります。
上下それぞれの３次元空間にX軸、Y軸、Z軸があるのがおわかりだと思います。図示していませんが上の方向がU軸です。
３次元空間それぞれに３次元の物体を置いてみるとこうなります。２つの世界はお互いに見ることができません。お互いの存在を知ることはできないのです。
５次元空間のあらわしかた
５次元空間のあらわしかたは、もうおわかりですね？次のように４次元空間の上方向にV軸が伸びていると考えればよいのです。
５次元空間は無限個の４次元空間が積み重なってできているともみなせます。５次元空間の中の２つの４次元空間のパラレルワールドは次のようなものです。
６次元空間のあらわしかた
６次元空間は次のように５次元空間の上方向にV軸が伸びています。
６次元空間は無限個の５次元空間が積み重なってできているとみなせます。６次元空間の中の２つの５次元空間のパラレルワールドは次のようなものです。
５次元空間、６次元空間のあらわしかた（その２）
５次元空間と６次元空間について、この連載記事では次のようなあらわしかたをする場合もあります。５次元空間は３次元＋２次元、６次元空間は３次元＋３次元と考える方法です。図示すると次のようになります。
５次元空間では写真の中の平面の上の空間にU軸とV軸があると考えます。同じ写真を使って６次元空間では平面の上の空間にU軸、V軸、W軸があると考えるわけです。
まぎらわしいですが、その都度ご説明いたしますので安心してください。
最後になりますが、この連載記事では次のような言葉も使わせていただくことにします。これまでにお見せした各次元空間について写真全体に写っている部分を「全空間」、そして透明プラスチックの平面であらわした空間のことを「居住空間」と呼ぶことにいたしましょう。
さて、次回の記事からようやく「種明かし」が始まります。
関連記事：
多次元空間へのお誘い（１）：はじめに
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/3c2bacd624695dcad7dd2fa9feadd5bd
多次元空間へのお誘い（２）：４次元空間での布団干し
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/81fb8e0a7f148699fcda78486f868903
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