「世界は２乗でできている 自然にひそむ平方数の不思議：小島寛之」（Kindle版）
内容紹介：
2乗を通して見る、深遠な数学と物理の世界。同じ数を2回掛けると現われる「平方数」には、数の「遊び心」や物理現象の秘密がかくれている。ピタゴラス、ガウス、フェルマー、リーマンら偉大な数学者の業績に見える平方数から、ガリレイ、ボーア、アインシュタインら偉大な物理学者が見いだした自然法則まで、平方数に秘められた不思議で深遠な世界をわかりやすく紹介する。
2013年8月20日刊行、248ページ。
著者について：
小島寛之（こじま ひろゆき）： ウィキペディアの記事
1958年、東京生まれ。東京大学理学部数学科卒。同大学院経済学研究科博士課程修了。経済学博士。現在、帝京大学経済学部経済学科教授。数学エッセイストとしても活躍。
小島先生の著書： Amazonで検索
理数系書籍のレビュー記事は本書で458冊目。
数学、特に統計学や経済数学を中心に多くの入門書、副読本をお書きになってきた小島先生による本だ。2013年に講談社ブルーバックスから刊行されて以来、気にはなっていたものの、自分にはやさし過ぎると早合点していたため、読むのが遅くなってしまった。
高校で物理を学んだ人であれば、自然法則に「２乗（平方数）」がよく現れることに気がついていることだろう。万有引力（重力）やクーロン力（静電気力、磁力）は距離の２乗に反比例して減衰するし、光源から発する光の強さ、音源から発する音の強さも距離の２乗に反比例して減衰する。それらはまったく違うものなのに、なぜ同じように減衰していくのか。からくりを理解していないうちは、それを神秘的、不思議に思ったりするものだ。
とどのつまり、それは空間の次元数が縦横高さの３次元だからである。これらの例で共通しているのは、それがエネルギーの拡散であるということだ。エネルギー源から空間的に四方八方に広がるエネルギーは、距離の２乗に反比例して弱まっていく。エネルギー源を頂点とする円錐を考えたとき、距離（＝円錐の高さ）が長くなるに従い、円錐の底面積は距離の２乗に比例して大きくなるからだ。したがって、円錐の底面の単位面積が受けるエネルギーは距離の２乗に反比例することになる。
世界には２乗があふれているといっても、しくみを理解できれば何ということはない。本書をタイトルだけで判断して「易しい本」、「当たり前のことが書かれている本」だと僕は早とちりしていた。そうであるにもかかわらず、読もうと思ったのは第8章に「ボーアと水素原子内の平方数」が書かれていることに気がついたからである。
水素原子でバルマー系列、ライマン系列、パッシェン系列として知られる発光スペクトルのパターンに平方数（数式上では平方数の逆数）が現れるのはなぜなのか、僕はど忘れしていた。
水素原子模型と波動方程式: PDF資料Web閲覧
それ以外にも面白いと感じたことが本書にはたくさん見つかった。本書で取り上げられているのは「数学に現れる２乗」と「物理法則に現れる２乗」に分かれているが、僕が神秘的に感じたのは数学、特に「数論に現れる２乗」だった。要するに自分よく理解できていない世界、学習不足の領域に見られる「２乗」に心惹かれたのだと思う。
何を面白く感じるか、神秘的に感じるかは、その人の知識や理解、学習進度に大きく左右されるものだ。全人類が理解に達していないとき、私たちはそれを神秘と呼んでいる。
本書では９つの例を取り上げて解説している。ひとつずつ解説や感想を簡潔に書いておこう。
第1章：ピタゴラスの定理
ピタゴラスの定理の２乗が現れるのは当たり前だが、この定理を侮ってはならない。この定理は、数学の発展に大きく分けて３つの貢献をしている。第一は数論への貢献であり、第二は無理数論への貢献、そして第三には幾何学的な計量理論への貢献である。本書ではこの章のほか、この３つの貢献を別の章で詳しく解説している。ピタゴラスの定理の大切さを教えてくれる。
第2章：フィボナッチと合同数
理系ファンなら誰でも知っているフィボナッチ数。この数列にまつわる話と２乗（平方数）が結び付けられことは知らなかった。興味深く読むことができた。
第3章：ガリレイと落体運動
この章の内容は知っていたので、特に面白いとは感じなかった。要するに運動エネルギーが速度の２乗に比例するということ、高校の力学の範囲が理解できれいればわかる話である。
第4章：フェルマーと4平方数定理
興味深く読むことができた。それはフェルマーの小定理、大定理は知っていたが、フェルマーの２平方数定理、４平方数定理を僕が知らなかったからだと思う。
第5章：ガウスと虚数
興味深く読むことができた。フェルマーの２平方数定理をガウスが虚数を使って再証明したあたり、ガウス整数の話がよい。
第6章：オイラーとリーマン
この章がいちばん興味深く読むことができた。「平方数の逆数をすべて足すといくつになるか」という「バーゼル問題」は、1644年に ピエトロ・メンゴリによって提起され、1735年にレオンハルト・オイラーによって解かれた有名な問題である。バーゼル問題はその後、ゼータ関数（ζ関数）の発見、素数の研究を飛躍的に発展させることにつながった。平方数の逆数和がなぜ素数と密接に関係しているのか？その数式を導出できたとしてもても、あなたはその理由や意味を述べることができるだろうか。（解説）
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そして、ミクロの物質の世界では「カシミール効果」という物理現象を場の量子論で解析するときに ζ(-3) = 1/120 が本質的な役割を果たしている。
この２つの例は神秘的としか言いようがない。
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ζ(-3) = 1/120 ： WolframAlphaで計算してみる 解説
第7章：ピアソンとカイ2乗分布
興味深く読めた。それは標準偏差や正規分布に２乗が現れるからくりは理解していたが、その先のピアソンやカイ2乗分布の話は知らなかったからである。あと、ガウスの誤差理論、最小二乗法に２乗がでてくるからくりも「なるほど！」という感じで読むことができた。
第8章：ボーアと水素原子内の平方数
本書を読むきっかけとなった章である。スペクトルの系列の数式に平方数の逆数がでてくるのは、要するに電子の運動エネルギー（速度の２乗）が本質的な役割を果たしているからだと理解した。
第9章：アインシュタインとE=mc^2
この章の内容は知っていた。特殊相対性理論は４次元の幾何学であり、本質的には４次元のピタゴラスの定理のようなものである。E=mc^2という式の導き方を知っていれば、この式に２乗がでてくることは容易に理解できる。
多くの方に読んでいいただきたい本だ。しかし、数式を引用して説明している。微積分の知識は不要だが、高校の数学II+B程度まで理解していることが読者の前提条件だ。
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「世界は２乗でできている 自然にひそむ平方数の不思議：小島寛之」（Kindle版）
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はじめに
第1章：ピタゴラスの定理
- 平方数の楽しみ
- 2乗についての大事な公式
- 平方といえばピタゴラス
- ピタゴラス数
- 無理数の発見
- 無理数の難しさ
- 空間の計測
[平方数を好きになる問題]１
第2章：フィボナッチと合同数
- フィボナッチ数
- フィボナッチ数と平方数
- 数学試合
- 合同数の問題
- ペル方程式
- 双曲線上に解が並ぶ
- 無理数との関係
- ペル方程式の解法
- ペル方程式のその後の展開
[平方数を好きになる問題]２
第3章：ガリレイと落体運動
- ガリレイの実験
- 慣性の法則
- 運動エネルギーは速度の2乗
- ケプラーの法則
- ニュートンの万有引力
- 月が地球に落ちてこない理由
- 円運動の加速度を求める
[平方数を好きになる問題]３
第4章：フェルマーと4平方数定理
- 数論の祖フェルマー
- フェルマーの小定理
- フェルマーの大定理
- 2平方数定理
- 4平方数定理
- 母関数による別証明
- 4平方数定理の母関数による証明
- 10進法と2進法
- p進数とは何か
- 7で割り切れるほど近くなる
- 7進数の中での2の平方根
- 4平方数定理とp進数
[平方数を好きになる問題]４
第5章：ガウスと虚数
- 天才ガウス
- 合同式
- 平方剰余の研究
- 2平方数定理と虚数
- ガウス整数
- 2平方数定理ふたたび
- 類体論という壮大な世界
[平方数を好きになる問題]５
第6章：オイラーとリーマン
- 平方数の逆数をすべて足すといくつになるか？
- 18世紀最大の数学者オイラー
- 無限の和
- 関数を無限次の多項式で表す
- 三角関数を無限次の多項式で表す
- 解と係数の関係を復習しよう
- 円周率の平方がなぜ現れるのか
- 平方数の逆数和が素数と関係する！
- オイラー積はなぜ成り立つのか
- リーマンのゼータ関数
- 短命の数学者リーマン
- 史上最大の難問リーマン予想
- ミクロの物質の物理学にゼータが現れた！
[平方数を好きになる問題]６
第7章：ピアソンとカイ2乗分布
- 今や、データ解析は必須
- 散らばりを代表する標準偏差
- 標準偏差は2乗平均
- 正規分布の発見
- 一般の正規分布
- この世界には正規分布がいっぱい
- ガウスの誤差理論
- 統計学者ピアソン
- カイ2乗分布の発見
- ピアソンの適合度検定
- ピアソン vs フィッシャー
[平方数を好きになる問題]７
第8章：ボーアと水素原子内の平方数
- プリズムと虹
- 水素のスペクトルはなぜか飛び飛び
- 平方数が出現
- 現代物理学の父ニールス・ボーア
- 原子の中の宇宙法則
- 量子跳躍と量子条件
- 電子の軌道が飛び飛びなのはなぜか
- 幸運な偶然
- ミクロの世界は複素数の姿をしている
- 幸運な一致の理由
[平方数を好きになる問題]８
第9章：アインシュタインとE=mc^2
- 天才アインシュタインの特殊相対性理論
- 川の流れの速度を知る方法
- 動く世界の速度を求める
- 音波を利用すれば船の速度がわかる
- 地球の絶対速度を求める試み
- 空間は収縮する
- いよいよ、アインシュタインの登場
- 歪む時間
- 異なる座標系の観測者
- 歪む時間・空間の中での不変量
- E=mc^2の発見
[平方数を好きになる問題]９
内容紹介：
2乗を通して見る、深遠な数学と物理の世界。同じ数を2回掛けると現われる「平方数」には、数の「遊び心」や物理現象の秘密がかくれている。ピタゴラス、ガウス、フェルマー、リーマンら偉大な数学者の業績に見える平方数から、ガリレイ、ボーア、アインシュタインら偉大な物理学者が見いだした自然法則まで、平方数に秘められた不思議で深遠な世界をわかりやすく紹介する。
2013年8月20日刊行、248ページ。
著者について：
小島寛之（こじま ひろゆき）： ウィキペディアの記事
1958年、東京生まれ。東京大学理学部数学科卒。同大学院経済学研究科博士課程修了。経済学博士。現在、帝京大学経済学部経済学科教授。数学エッセイストとしても活躍。
小島先生の著書： Amazonで検索
理数系書籍のレビュー記事は本書で458冊目。
数学、特に統計学や経済数学を中心に多くの入門書、副読本をお書きになってきた小島先生による本だ。2013年に講談社ブルーバックスから刊行されて以来、気にはなっていたものの、自分にはやさし過ぎると早合点していたため、読むのが遅くなってしまった。
高校で物理を学んだ人であれば、自然法則に「２乗（平方数）」がよく現れることに気がついていることだろう。万有引力（重力）やクーロン力（静電気力、磁力）は距離の２乗に反比例して減衰するし、光源から発する光の強さ、音源から発する音の強さも距離の２乗に反比例して減衰する。それらはまったく違うものなのに、なぜ同じように減衰していくのか。からくりを理解していないうちは、それを神秘的、不思議に思ったりするものだ。
とどのつまり、それは空間の次元数が縦横高さの３次元だからである。これらの例で共通しているのは、それがエネルギーの拡散であるということだ。エネルギー源から空間的に四方八方に広がるエネルギーは、距離の２乗に反比例して弱まっていく。エネルギー源を頂点とする円錐を考えたとき、距離（＝円錐の高さ）が長くなるに従い、円錐の底面積は距離の２乗に比例して大きくなるからだ。したがって、円錐の底面の単位面積が受けるエネルギーは距離の２乗に反比例することになる。
世界には２乗があふれているといっても、しくみを理解できれば何ということはない。本書をタイトルだけで判断して「易しい本」、「当たり前のことが書かれている本」だと僕は早とちりしていた。そうであるにもかかわらず、読もうと思ったのは第8章に「ボーアと水素原子内の平方数」が書かれていることに気がついたからである。
水素原子でバルマー系列、ライマン系列、パッシェン系列として知られる発光スペクトルのパターンに平方数（数式上では平方数の逆数）が現れるのはなぜなのか、僕はど忘れしていた。
水素原子模型と波動方程式: PDF資料Web閲覧
それ以外にも面白いと感じたことが本書にはたくさん見つかった。本書で取り上げられているのは「数学に現れる２乗」と「物理法則に現れる２乗」に分かれているが、僕が神秘的に感じたのは数学、特に「数論に現れる２乗」だった。要するに自分よく理解できていない世界、学習不足の領域に見られる「２乗」に心惹かれたのだと思う。
何を面白く感じるか、神秘的に感じるかは、その人の知識や理解、学習進度に大きく左右されるものだ。全人類が理解に達していないとき、私たちはそれを神秘と呼んでいる。
本書では９つの例を取り上げて解説している。ひとつずつ解説や感想を簡潔に書いておこう。
第1章：ピタゴラスの定理
ピタゴラスの定理の２乗が現れるのは当たり前だが、この定理を侮ってはならない。この定理は、数学の発展に大きく分けて３つの貢献をしている。第一は数論への貢献であり、第二は無理数論への貢献、そして第三には幾何学的な計量理論への貢献である。本書ではこの章のほか、この３つの貢献を別の章で詳しく解説している。ピタゴラスの定理の大切さを教えてくれる。
第2章：フィボナッチと合同数
理系ファンなら誰でも知っているフィボナッチ数。この数列にまつわる話と２乗（平方数）が結び付けられことは知らなかった。興味深く読むことができた。
第3章：ガリレイと落体運動
この章の内容は知っていたので、特に面白いとは感じなかった。要するに運動エネルギーが速度の２乗に比例するということ、高校の力学の範囲が理解できれいればわかる話である。
第4章：フェルマーと4平方数定理
興味深く読むことができた。それはフェルマーの小定理、大定理は知っていたが、フェルマーの２平方数定理、４平方数定理を僕が知らなかったからだと思う。
第5章：ガウスと虚数
興味深く読むことができた。フェルマーの２平方数定理をガウスが虚数を使って再証明したあたり、ガウス整数の話がよい。
第6章：オイラーとリーマン
この章がいちばん興味深く読むことができた。「平方数の逆数をすべて足すといくつになるか」という「バーゼル問題」は、1644年に ピエトロ・メンゴリによって提起され、1735年にレオンハルト・オイラーによって解かれた有名な問題である。バーゼル問題はその後、ゼータ関数（ζ関数）の発見、素数の研究を飛躍的に発展させることにつながった。平方数の逆数和がなぜ素数と密接に関係しているのか？その数式を導出できたとしてもても、あなたはその理由や意味を述べることができるだろうか。（解説）
そして、ミクロの物質の世界では「カシミール効果」という物理現象を場の量子論で解析するときに ζ(-3) = 1/120 が本質的な役割を果たしている。
この２つの例は神秘的としか言いようがない。
ζ(-3) = 1/120 ： WolframAlphaで計算してみる 解説
第7章：ピアソンとカイ2乗分布
興味深く読めた。それは標準偏差や正規分布に２乗が現れるからくりは理解していたが、その先のピアソンやカイ2乗分布の話は知らなかったからである。あと、ガウスの誤差理論、最小二乗法に２乗がでてくるからくりも「なるほど！」という感じで読むことができた。
第8章：ボーアと水素原子内の平方数
本書を読むきっかけとなった章である。スペクトルの系列の数式に平方数の逆数がでてくるのは、要するに電子の運動エネルギー（速度の２乗）が本質的な役割を果たしているからだと理解した。
第9章：アインシュタインとE=mc^2
この章の内容は知っていた。特殊相対性理論は４次元の幾何学であり、本質的には４次元のピタゴラスの定理のようなものである。E=mc^2という式の導き方を知っていれば、この式に２乗がでてくることは容易に理解できる。
多くの方に読んでいいただきたい本だ。しかし、数式を引用して説明している。微積分の知識は不要だが、高校の数学II+B程度まで理解していることが読者の前提条件だ。
「世界は２乗でできている 自然にひそむ平方数の不思議：小島寛之」（Kindle版）
はじめに
第1章：ピタゴラスの定理
- 平方数の楽しみ
- 2乗についての大事な公式
- 平方といえばピタゴラス
- ピタゴラス数
- 無理数の発見
- 無理数の難しさ
- 空間の計測
[平方数を好きになる問題]１
第2章：フィボナッチと合同数
- フィボナッチ数
- フィボナッチ数と平方数
- 数学試合
- 合同数の問題
- ペル方程式
- 双曲線上に解が並ぶ
- 無理数との関係
- ペル方程式の解法
- ペル方程式のその後の展開
[平方数を好きになる問題]２
第3章：ガリレイと落体運動
- ガリレイの実験
- 慣性の法則
- 運動エネルギーは速度の2乗
- ケプラーの法則
- ニュートンの万有引力
- 月が地球に落ちてこない理由
- 円運動の加速度を求める
[平方数を好きになる問題]３
第4章：フェルマーと4平方数定理
- 数論の祖フェルマー
- フェルマーの小定理
- フェルマーの大定理
- 2平方数定理
- 4平方数定理
- 母関数による別証明
- 4平方数定理の母関数による証明
- 10進法と2進法
- p進数とは何か
- 7で割り切れるほど近くなる
- 7進数の中での2の平方根
- 4平方数定理とp進数
[平方数を好きになる問題]４
第5章：ガウスと虚数
- 天才ガウス
- 合同式
- 平方剰余の研究
- 2平方数定理と虚数
- ガウス整数
- 2平方数定理ふたたび
- 類体論という壮大な世界
[平方数を好きになる問題]５
第6章：オイラーとリーマン
- 平方数の逆数をすべて足すといくつになるか？
- 18世紀最大の数学者オイラー
- 無限の和
- 関数を無限次の多項式で表す
- 三角関数を無限次の多項式で表す
- 解と係数の関係を復習しよう
- 円周率の平方がなぜ現れるのか
- 平方数の逆数和が素数と関係する！
- オイラー積はなぜ成り立つのか
- リーマンのゼータ関数
- 短命の数学者リーマン
- 史上最大の難問リーマン予想
- ミクロの物質の物理学にゼータが現れた！
[平方数を好きになる問題]６
第7章：ピアソンとカイ2乗分布
- 今や、データ解析は必須
- 散らばりを代表する標準偏差
- 標準偏差は2乗平均
- 正規分布の発見
- 一般の正規分布
- この世界には正規分布がいっぱい
- ガウスの誤差理論
- 統計学者ピアソン
- カイ2乗分布の発見
- ピアソンの適合度検定
- ピアソン vs フィッシャー
[平方数を好きになる問題]７
第8章：ボーアと水素原子内の平方数
- プリズムと虹
- 水素のスペクトルはなぜか飛び飛び
- 平方数が出現
- 現代物理学の父ニールス・ボーア
- 原子の中の宇宙法則
- 量子跳躍と量子条件
- 電子の軌道が飛び飛びなのはなぜか
- 幸運な偶然
- ミクロの世界は複素数の姿をしている
- 幸運な一致の理由
[平方数を好きになる問題]８
第9章：アインシュタインとE=mc^2
- 天才アインシュタインの特殊相対性理論
- 川の流れの速度を知る方法
- 動く世界の速度を求める
- 音波を利用すれば船の速度がわかる
- 地球の絶対速度を求める試み
- 空間は収縮する
- いよいよ、アインシュタインの登場
- 歪む時間
- 異なる座標系の観測者
- 歪む時間・空間の中での不変量
- E=mc^2の発見
[平方数を好きになる問題]９