「トポロジー入門：松本幸夫」（オンデマンド版）
内容紹介：
高校数学程度の素養をもった読者にトポロジーの初歩からその基本事項をていねいに紹介した最適の入門書。論理的理解と直観的理解が並行して進むよう、親切な工夫が凝らしてある。章末に練習問題，巻末に解答を付す。1985年刊行、308ページ。
著者について：
松本幸夫（まつもとゆきお）
1944年、埼玉県生まれ。東京大学理学部数学科卒業（1967）、学習院大学教授、東京大学名誉教授。日本数学会弥永賞受賞。
ホームページ:
http://www.math.gakushuin.ac.jp/Staff/matsumoto_pr.html
インタビューのページ：
http://www.gakushuin.ac.jp/univ/sci/top/kagakusanpo/matsumoto/matsumoto.html
理数系書籍のレビュー記事は本書で283冊目。
本書は５年ほど前に5000円ほどで購入していてそのまま手つかずになっていた。いま中古価格を見ると１万円を超えていることに驚いたがオンデマンド版がでているので品切れになることはない。とはいえオンデマンド版は８千円以上する。それだけ人気が高い名著だということなのだ。
トポロジー（位相幾何学）の本は「トポロジー とね日記でGoogle検索」すればわかるように、これまでたくさんの本を読んで紹介してきた。けれどもそれらはすべて数学の教科書ではない教養書であり「証明」はあまり重視されていない。教科書として読んだのはこれが最初の本である。いつか読みたいと思いつつそのままになっていたのだ。本は読まなければただの紙である。
表題は「トポロジー入門」。しかし証明をかなり厳密にしているスタイルをとっているので扱っているテーマは「ホモトピー」に限られている。「ホモトピーって何？」という段階の方は本書を読むのはきついと思う。もっと易しい入門書、たとえば次の４冊をまず読んだほうがよい。特に最初の２冊が初心者向け。
「トポロジー万華鏡〈1〉：小竹義朗、瀬山士郎、村上斉」（紹介記事）
「トポロジー万華鏡〈2〉：玉野研一、深石博夫、根上生也」（紹介記事）
「トポロジーの世界： 野口廣」（紹介記事）
「トポロジー―基礎と方法： 野口廣」（紹介記事）
また本書と同じく厳密な証明を含んだレベルの教科書で「ホモロジー」を学びたいののであれば次の本をお勧めする。これも名著なので近いうちに読みたい。
「トポロジー：田村一郎」（オリジナル版）（オンデマンド版）
前置きが長くなったが「トポロジー入門：松本幸夫」の紹介を始めよう。
本書は９月上旬に読み始めた。Amazonの内容紹介では「高校数学程度の素養をもった読者に」と書かれていたので「シルバーウィークの終わりまでには読めるだろう。」とたかをくくっていたのだが、そうは問屋が卸さなかった。章立ては次のとおりなのだが、すらすら読めたのは第４章の基本群まで。シルバーウィークが始まった頃に第５章を読み始めたのだが５日間の休暇中読みふけっていたにもかかわらず付録Ｂを読み終えたのが昨夜のこと。第５章と第６章はページ数もあり、難儀だった。（優秀な）高校生が読めるのは第４章までだというのが僕の持った感触だ。
第１章：空間と連続写像
第２章：位相
第３章：連結性
第４章：基本群
第５章：ファンカンペンの定理
第６章：いくつかの応用
付録Ａ：距離空間について、点列によるコンパクト性と開被覆による定義とが同等なことの証明
付録Ｂ：まつわり数
第１章から第４章までは位相や位相空間、連結性、群論の入門書など現代数学の入門領域をとても分かり易く教えている。僕はこれらを他の本で学んでいるので、効率的な復習になった。本書全体に通じて言えることだが、定理の紹介や証明など難しい部分と図示やたとえ話、具体的な例をもちだした直観的な解説が交互にバランス良く書かれているのが特長だ。
第４章の「基本群」を理解するのがトポロジー（ホモトピー理論）の第１歩である。コーヒーカップとドーナツが同じだとみなすのがトポロジーだというのはよく聞く話だと思うが。トポロジーは物や空間の「形」を研究するのが目的だ。「形」を数のパターンや穴の数やオイラー数など「位相不変量」と呼ばれる「空間や物体の形を特徴づける数」であらわし、実際に見たり触ったりできない状況でもその形をあらわし、他の人に伝えることができる手法なのである。「数のパターン」というのが「群論」であり、基本群というのはそれぞれの形に対応している群のことだ。
たとえば正方形や三角形、円の形をした２次元の面の基本群は「e」とよばれる群の単位元そのものでり、１次元の円周（つまり円環）の基本群は加法群「Z」である。加法群Ｚとはつまり整数のことだ。これは１次元の円周にホモトピー理論ではひもを巻きつけるとき、右回りに巻ける回数が１、２、３...と正の整数であることに対応し、左周りに巻ける回数が－１、－２、－３と負の整数にであることに対応していることを意味している。
自分は目が見えるし手も使えるから形なんてそんな難しいことをやらなくてもと思うかもしれない。けれども超弦理論の余剰次元はコンパクトに丸められた６次元空間で、私たちには見ることも触ることも、そしてその形を想像することすらできない。このような状況で形をあらわす有効な手段となるのが基本群であり、トポロジーである。先日の朝日カルチャーセンターの講座で大栗博司先生は「カラビ・ヤウ空間は計量が定義できないので距離すらわからない。」とおっしゃっていた。距離を気にしないのがトポロジーである。「形」という幾何学の世界を「数や群」という代数学の世界に結びつけることで何次元の形であっても私たちは理解できるようになるわけだ。
第５章で長々と厳密な形で証明するのが「ファンカンペンの定理」だ。形があるものはくっつけて複雑な形にすることができる。この定理は円環と円環をくっつけてできる８の字形のリングの基本群を表すためのものだ。円環の基本群はわかっているがそれを２つもってきてどのような計算をすれば８の字形の基本群になるのだろうか。その計算がいわゆる「融合積」と呼ばれているものになる。詳しくは本書で学ぶか、次のPDF資料を参考にしてほしい。
トポロジー（ファンカンペンの定理）
http://mathmatica.web.fc2.com/college/topology/PDF/topology05.pdf
円環を２つくっつけるのはトポロジーの世界の２歩目である。いろいろな形の物体をくっつけて基本群を求めることができるわけだが、それは第６章でたっぷり学ぶことになる。この章はページ数も多く、難しくなってきたので本当にきつかった。特に被覆空間あたりから特にきつかった。
とはいえすごく面白いと思ったのが閉曲面（閉じた２次元の面）の分類をしている箇所。どうしてそう分類されているのかは証明されていなかったけれどそれについては本が紹介されていた。「トポロジー（サイエンスライブラリ理工系の数学）：加藤十吉」という本だそうである。
なんと２次元の閉曲面は３種類に分類され、第１グループは「向き付け可能」であり、第２グループは「向き付け不可能」であるという。
第１グループ）Ｓ^2またはnＴ^2（n≧1）
第２グループ）nＰ^2（n≧1）
つまり第１グループの最初のは円や正方形のような形、後のほうは種数（穴の数）がn個のトーラス（ドーナツ形の表面）のことで、第２グループは種数n個の射影平面のことである。射影平面は２次元の空間（面）あるいは物体であるが３次元空間には埋め込むことはできず４次元以上の空間にしか埋め込むことができない「２次元の形」である。
僕がなぜこれが面白いと感じたかといえば「トポロジカル宇宙（完全版）：根上生也著」の記事で紹介した「サーストンの幾何化予想」（ペレルマンがもう証明してしまったので「サーストンの幾何化定理」なのもしれない）を思い出したからだ。この予想は３次元の空間の分類についてのもので、いわば上の２次元の閉曲面の場合から１つ次元を増やした世界に相当する。つまり僕らの住んでいる３次元空間のとりうる種類を述べたものだ。記事に含まれている図を見てわかるように８種類あるというのがその答だ。８種類それぞれの形の横に書かれている英数字の記号が形をあらわしている。次元を１つ上げただけで、問題はずいぶん難しくなるのだ。
このような感じで本書をなんとか最後まで読み終えることができた。
このほかにも松本先生はトポロジーの本をお書きになっている。それは次の２冊でリンクをクリックしていただあくとそれぞれの紹介記事をお読みいただける。
「トポロジーへの誘い―多様体と次元をめぐって：松本幸夫著」（紹介記事）
初学者はまずこの本をお読みになるとよい。とはいえ後半は高度な話題なので、記事の上のほうで紹介した入門書４冊よりはずっと難度が高い。理解できないながらも最先端のトポロジーの不思議と凄さを垣間見ることができる小型本である。
「増補新版 4次元のトポロジー：松本幸夫」（紹介記事）
大型本。初心者から専門家まで楽しめる科学教養書と教科書の中間的な本である。最先端の定理まで紹介してあるのと、証明をかなり省いて数多くの話題を提供するので、難しいと感じる方も多いだろう。今回紹介した「トポロジー入門：松本幸夫」には触れていない話題がたくさんあるので両方お読みになることをお勧めする。
お知らせ：
ところで松本先生は今月朝日カルチャーセンター新宿教室で２つの講座を教えられるそうだ。ひとつは土曜日１日（２時間）の講座でもうひとつは金曜夕方（２時間を３回）の講座である。都内近郊にお住まいの方はぜひ受講していただきたい。（僕は差し当たり土曜日の１日講座を予約しておいた。楽しみである。金曜の３回の講座は残業があるかもしれないので未定。）
「多様体」超入門：現代幾何学が解き明かす「曲がった空間」
土曜 15:30-17:30 10/10 1回：（講座詳細）（学生会員はこちら）
現代幾何学入門：多様体とトポロジー
金曜 18:30-20:30 10/23～11/13 3回：（講座詳細）（学生会員はこちら）
なおこちらの講座の参考書は「トポロジーへの誘い―多様体と次元をめぐって：松本幸夫著」だそうである。
関連記事：
トポロジーへの誘い―多様体と次元をめぐって：松本幸夫著
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/fc45854ef67aafbff51ce9432bd6184c
増補新版 4次元のトポロジー：松本幸夫
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/286e47e23e3dc4d1c6596d19c78720e5
多様体の基礎: 松本幸夫
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/a372a9ed92d55474cdbbb707922dc353
応援クリックをお願いします！
![にほんブログ村 科学ブログ 物理学へ]()
![人気ブログランキングへ]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
「トポロジー入門：松本幸夫」（オンデマンド版）
![]()
まえがき
第１章：空間と連続写像
- いろいろな図形
- 連続曲線
- ユークリッド空間と距離空間
- 連続写像と同相写像
第２章：位相
- 閉集合、開集合、位相空間
- コンパクト空間
第３章：連結性
- 連結性
- 弧状連結性
第４章：基本群
- 道の変形
- 群
- 基本群
- 写像のホモトピー
第５章：ファンカンペンの定理
- 自由積と融合積
- ファンカンペンの定理
第６章：いくつかの応用
- 群の表示
- 空間の工作と閉局面の基本群
- 被覆空間
- 結び目
付録Ａ：距離空間について、点列によるコンパクト性と開被覆による定義とが同等なことの証明
付録Ｂ：まつわり数
演習問題解答
あとがき
索引
内容紹介：
高校数学程度の素養をもった読者にトポロジーの初歩からその基本事項をていねいに紹介した最適の入門書。論理的理解と直観的理解が並行して進むよう、親切な工夫が凝らしてある。章末に練習問題，巻末に解答を付す。1985年刊行、308ページ。
著者について：
松本幸夫（まつもとゆきお）
1944年、埼玉県生まれ。東京大学理学部数学科卒業（1967）、学習院大学教授、東京大学名誉教授。日本数学会弥永賞受賞。
ホームページ:
http://www.math.gakushuin.ac.jp/Staff/matsumoto_pr.html
インタビューのページ：
http://www.gakushuin.ac.jp/univ/sci/top/kagakusanpo/matsumoto/matsumoto.html
理数系書籍のレビュー記事は本書で283冊目。
本書は５年ほど前に5000円ほどで購入していてそのまま手つかずになっていた。いま中古価格を見ると１万円を超えていることに驚いたがオンデマンド版がでているので品切れになることはない。とはいえオンデマンド版は８千円以上する。それだけ人気が高い名著だということなのだ。
トポロジー（位相幾何学）の本は「トポロジー とね日記でGoogle検索」すればわかるように、これまでたくさんの本を読んで紹介してきた。けれどもそれらはすべて数学の教科書ではない教養書であり「証明」はあまり重視されていない。教科書として読んだのはこれが最初の本である。いつか読みたいと思いつつそのままになっていたのだ。本は読まなければただの紙である。
表題は「トポロジー入門」。しかし証明をかなり厳密にしているスタイルをとっているので扱っているテーマは「ホモトピー」に限られている。「ホモトピーって何？」という段階の方は本書を読むのはきついと思う。もっと易しい入門書、たとえば次の４冊をまず読んだほうがよい。特に最初の２冊が初心者向け。
「トポロジー万華鏡〈1〉：小竹義朗、瀬山士郎、村上斉」（紹介記事）
「トポロジー万華鏡〈2〉：玉野研一、深石博夫、根上生也」（紹介記事）
「トポロジーの世界： 野口廣」（紹介記事）
「トポロジー―基礎と方法： 野口廣」（紹介記事）
また本書と同じく厳密な証明を含んだレベルの教科書で「ホモロジー」を学びたいののであれば次の本をお勧めする。これも名著なので近いうちに読みたい。
「トポロジー：田村一郎」（オリジナル版）（オンデマンド版）
前置きが長くなったが「トポロジー入門：松本幸夫」の紹介を始めよう。
本書は９月上旬に読み始めた。Amazonの内容紹介では「高校数学程度の素養をもった読者に」と書かれていたので「シルバーウィークの終わりまでには読めるだろう。」とたかをくくっていたのだが、そうは問屋が卸さなかった。章立ては次のとおりなのだが、すらすら読めたのは第４章の基本群まで。シルバーウィークが始まった頃に第５章を読み始めたのだが５日間の休暇中読みふけっていたにもかかわらず付録Ｂを読み終えたのが昨夜のこと。第５章と第６章はページ数もあり、難儀だった。（優秀な）高校生が読めるのは第４章までだというのが僕の持った感触だ。
第１章：空間と連続写像
第２章：位相
第３章：連結性
第４章：基本群
第５章：ファンカンペンの定理
第６章：いくつかの応用
付録Ａ：距離空間について、点列によるコンパクト性と開被覆による定義とが同等なことの証明
付録Ｂ：まつわり数
第１章から第４章までは位相や位相空間、連結性、群論の入門書など現代数学の入門領域をとても分かり易く教えている。僕はこれらを他の本で学んでいるので、効率的な復習になった。本書全体に通じて言えることだが、定理の紹介や証明など難しい部分と図示やたとえ話、具体的な例をもちだした直観的な解説が交互にバランス良く書かれているのが特長だ。
第４章の「基本群」を理解するのがトポロジー（ホモトピー理論）の第１歩である。コーヒーカップとドーナツが同じだとみなすのがトポロジーだというのはよく聞く話だと思うが。トポロジーは物や空間の「形」を研究するのが目的だ。「形」を数のパターンや穴の数やオイラー数など「位相不変量」と呼ばれる「空間や物体の形を特徴づける数」であらわし、実際に見たり触ったりできない状況でもその形をあらわし、他の人に伝えることができる手法なのである。「数のパターン」というのが「群論」であり、基本群というのはそれぞれの形に対応している群のことだ。
たとえば正方形や三角形、円の形をした２次元の面の基本群は「e」とよばれる群の単位元そのものでり、１次元の円周（つまり円環）の基本群は加法群「Z」である。加法群Ｚとはつまり整数のことだ。これは１次元の円周にホモトピー理論ではひもを巻きつけるとき、右回りに巻ける回数が１、２、３...と正の整数であることに対応し、左周りに巻ける回数が－１、－２、－３と負の整数にであることに対応していることを意味している。
自分は目が見えるし手も使えるから形なんてそんな難しいことをやらなくてもと思うかもしれない。けれども超弦理論の余剰次元はコンパクトに丸められた６次元空間で、私たちには見ることも触ることも、そしてその形を想像することすらできない。このような状況で形をあらわす有効な手段となるのが基本群であり、トポロジーである。先日の朝日カルチャーセンターの講座で大栗博司先生は「カラビ・ヤウ空間は計量が定義できないので距離すらわからない。」とおっしゃっていた。距離を気にしないのがトポロジーである。「形」という幾何学の世界を「数や群」という代数学の世界に結びつけることで何次元の形であっても私たちは理解できるようになるわけだ。
第５章で長々と厳密な形で証明するのが「ファンカンペンの定理」だ。形があるものはくっつけて複雑な形にすることができる。この定理は円環と円環をくっつけてできる８の字形のリングの基本群を表すためのものだ。円環の基本群はわかっているがそれを２つもってきてどのような計算をすれば８の字形の基本群になるのだろうか。その計算がいわゆる「融合積」と呼ばれているものになる。詳しくは本書で学ぶか、次のPDF資料を参考にしてほしい。
トポロジー（ファンカンペンの定理）
http://mathmatica.web.fc2.com/college/topology/PDF/topology05.pdf
円環を２つくっつけるのはトポロジーの世界の２歩目である。いろいろな形の物体をくっつけて基本群を求めることができるわけだが、それは第６章でたっぷり学ぶことになる。この章はページ数も多く、難しくなってきたので本当にきつかった。特に被覆空間あたりから特にきつかった。
とはいえすごく面白いと思ったのが閉曲面（閉じた２次元の面）の分類をしている箇所。どうしてそう分類されているのかは証明されていなかったけれどそれについては本が紹介されていた。「トポロジー（サイエンスライブラリ理工系の数学）：加藤十吉」という本だそうである。
なんと２次元の閉曲面は３種類に分類され、第１グループは「向き付け可能」であり、第２グループは「向き付け不可能」であるという。
第１グループ）Ｓ^2またはnＴ^2（n≧1）
第２グループ）nＰ^2（n≧1）
つまり第１グループの最初のは円や正方形のような形、後のほうは種数（穴の数）がn個のトーラス（ドーナツ形の表面）のことで、第２グループは種数n個の射影平面のことである。射影平面は２次元の空間（面）あるいは物体であるが３次元空間には埋め込むことはできず４次元以上の空間にしか埋め込むことができない「２次元の形」である。
僕がなぜこれが面白いと感じたかといえば「トポロジカル宇宙（完全版）：根上生也著」の記事で紹介した「サーストンの幾何化予想」（ペレルマンがもう証明してしまったので「サーストンの幾何化定理」なのもしれない）を思い出したからだ。この予想は３次元の空間の分類についてのもので、いわば上の２次元の閉曲面の場合から１つ次元を増やした世界に相当する。つまり僕らの住んでいる３次元空間のとりうる種類を述べたものだ。記事に含まれている図を見てわかるように８種類あるというのがその答だ。８種類それぞれの形の横に書かれている英数字の記号が形をあらわしている。次元を１つ上げただけで、問題はずいぶん難しくなるのだ。
このような感じで本書をなんとか最後まで読み終えることができた。
このほかにも松本先生はトポロジーの本をお書きになっている。それは次の２冊でリンクをクリックしていただあくとそれぞれの紹介記事をお読みいただける。
「トポロジーへの誘い―多様体と次元をめぐって：松本幸夫著」（紹介記事）
初学者はまずこの本をお読みになるとよい。とはいえ後半は高度な話題なので、記事の上のほうで紹介した入門書４冊よりはずっと難度が高い。理解できないながらも最先端のトポロジーの不思議と凄さを垣間見ることができる小型本である。
「増補新版 4次元のトポロジー：松本幸夫」（紹介記事）
大型本。初心者から専門家まで楽しめる科学教養書と教科書の中間的な本である。最先端の定理まで紹介してあるのと、証明をかなり省いて数多くの話題を提供するので、難しいと感じる方も多いだろう。今回紹介した「トポロジー入門：松本幸夫」には触れていない話題がたくさんあるので両方お読みになることをお勧めする。
お知らせ：
ところで松本先生は今月朝日カルチャーセンター新宿教室で２つの講座を教えられるそうだ。ひとつは土曜日１日（２時間）の講座でもうひとつは金曜夕方（２時間を３回）の講座である。都内近郊にお住まいの方はぜひ受講していただきたい。（僕は差し当たり土曜日の１日講座を予約しておいた。楽しみである。金曜の３回の講座は残業があるかもしれないので未定。）
「多様体」超入門：現代幾何学が解き明かす「曲がった空間」
土曜 15:30-17:30 10/10 1回：（講座詳細）（学生会員はこちら）
現代幾何学入門：多様体とトポロジー
金曜 18:30-20:30 10/23～11/13 3回：（講座詳細）（学生会員はこちら）
なおこちらの講座の参考書は「トポロジーへの誘い―多様体と次元をめぐって：松本幸夫著」だそうである。
関連記事：
トポロジーへの誘い―多様体と次元をめぐって：松本幸夫著
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/fc45854ef67aafbff51ce9432bd6184c
増補新版 4次元のトポロジー：松本幸夫
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/286e47e23e3dc4d1c6596d19c78720e5
多様体の基礎: 松本幸夫
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/a372a9ed92d55474cdbbb707922dc353
応援クリックをお願いします！
「トポロジー入門：松本幸夫」（オンデマンド版）
まえがき
第１章：空間と連続写像
- いろいろな図形
- 連続曲線
- ユークリッド空間と距離空間
- 連続写像と同相写像
第２章：位相
- 閉集合、開集合、位相空間
- コンパクト空間
第３章：連結性
- 連結性
- 弧状連結性
第４章：基本群
- 道の変形
- 群
- 基本群
- 写像のホモトピー
第５章：ファンカンペンの定理
- 自由積と融合積
- ファンカンペンの定理
第６章：いくつかの応用
- 群の表示
- 空間の工作と閉局面の基本群
- 被覆空間
- 結び目
付録Ａ：距離空間について、点列によるコンパクト性と開被覆による定義とが同等なことの証明
付録Ｂ：まつわり数
演習問題解答
あとがき
索引